Sabendo que
e que
, determine as demais funções trigonométricas para
.
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
-
. -
.
O que é pedido:
- Determinar as demais funções trigonométricas de
, ou seja , , , e .
Passo 2
Entender o sinal das funções no intervalo dado. O intervalo
corresponde ao quadrante II do círculo trigonométrico. No quadrante II:
- o seno é positivo;
- o cosseno é negativo;
- a tangente é negativa.
Como
foi dado negativo, isso é consistente com
no quadrante II.
Passo 3
Lembrar as definições básicas (a “aula rápida”):
-
. Isso significa que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo associado. - Para trabalhar numericamente, podemos tomar valores inteiros proporcionais aos catetos: escolha-se o cateto oposto e o adjacente de modo que sua razão seja
.
Dado
, podemos escolher (em valor absoluto) os catetos como
e
. Para respeitar os sinais no quadrante II:
- o cateto oposto (relacionado ao seno) deve ser positivo: tome
; - o cateto adjacente (relacionado ao cosseno) deve ser negativo: tome
.
Assim estamos representando
, compatível com a informação do enunciado.
Passo 4
Calcular a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras. A hipotenusa
satisfaz
Substituindo os valores escolhidos:
Passo 5
Agora usar as definições para seno e cosseno:
-
. -
.
Substituindo:
Observação de sinais:
ficou positivo e
negativo, conforme esperado no quadrante II.
Passo 6
Definir e calcular as funções recíprocas e a cotangente:
-
. -
. -
.
Calculando a partir dos valores já obtidos:
Passo 7
Verificação rápida (checada para a prova): confirmar que
:
que coincide com o dado inicial.