Sabendo que \operatorname{tg} x=-\frac{12}{5} e que \frac{\pi}{2}<x<\pi, determine as demais funções trigonométricas para x.

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
  • \tan x = -\dfrac{12}{5}.
  • \dfrac{\pi}{2} < x < \pi.
O que é pedido:
  • Determinar as demais funções trigonométricas de x, ou seja \sin x, \cos x, \cot x, \operatorname{sec} x e \csc x.

Passo 2

Entender o sinal das funções no intervalo dado. O intervalo \dfrac{\pi}{2}<x<\pi corresponde ao quadrante II do círculo trigonométrico. No quadrante II:
  • o seno é positivo;
  • o cosseno é negativo;
  • a tangente é negativa.
Como \tan x foi dado negativo, isso é consistente com x no quadrante II.

Passo 3

Lembrar as definições básicas (a “aula rápida”):
  • \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Isso significa que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo associado.
  • Para trabalhar numericamente, podemos tomar valores inteiros proporcionais aos catetos: escolha-se o cateto oposto e o adjacente de modo que sua razão seja \tan x.
Dado \tan x = -\dfrac{12}{5}, podemos escolher (em valor absoluto) os catetos como 12 e 5. Para respeitar os sinais no quadrante II:
  • o cateto oposto (relacionado ao seno) deve ser positivo: tome \text{oposto} = 12;
  • o cateto adjacente (relacionado ao cosseno) deve ser negativo: tome \text{adjacente} = -5.
Assim estamos representando \tan x = \dfrac{12}{-5} = -\dfrac{12}{5}, compatível com a informação do enunciado.

Passo 4

Calcular a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras. A hipotenusa r satisfaz
r=\sqrt{(\text{oposto})^{2}+(\text{adjacente})^{2}}.
Substituindo os valores escolhidos:
r=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.

Passo 5

Agora usar as definições para seno e cosseno:
  • \sin x=\dfrac{\text{oposto}}{r}.
  • \cos x=\dfrac{\text{adjacente}}{r}.
Substituindo:
\sin x=\dfrac{12}{13}, \qquad \cos x=\dfrac{-5}{13}=-\dfrac{5}{13}.
Observação de sinais: \sin x ficou positivo e \cos x negativo, conforme esperado no quadrante II.

Passo 6

Definir e calcular as funções recíprocas e a cotangente:
  • \cot x=\dfrac{1}{\tan x}.
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
Calculando a partir dos valores já obtidos:
\cot x=\dfrac{1}{-\dfrac{12}{5}}=-\dfrac{5}{12}, \qquad \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{-\dfrac{5}{13}}=-\dfrac{13}{5}, \qquad \csc x=\dfrac{1}{\dfrac{12}{13}}=\dfrac{13}{12}.

Passo 7

Verificação rápida (checada para a prova): confirmar que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\dfrac{12}{13}}{-\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{13}\cdot\left(-\dfrac{13}{5}\right)=-\dfrac{12}{5},
que coincide com o dado inicial.

Resposta

\sin x=\dfrac{12}{13}
\cos x=-\dfrac{5}{13}
\tan x=-\dfrac{12}{5}
\cot x=-\dfrac{5}{12}
\operatorname{sec} x=-\dfrac{13}{5}
\csc x=\dfrac{13}{12}

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