Considerando que o ponto P que está no círculo unitário é o correspondente a um ângulo x encontre, sen x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x :
\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto P do círculo trigonométrico (o círculo unitário) que corresponde a um ângulo x. As informações fornecidas são:
  • Coordenadas do ponto P: \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right).
O que o exercício pede: encontrar os valores de
\sin x,\qquad \cos x,\qquad \operatorname{tg} x,\qquad \operatorname{cotg} x,\qquad \operatorname{sec} x,\qquad \operatorname{cossec} x.

Passo 2

Lembrete fundamental (o que é necessário para resolver): no círculo unitário (raio 1), o ponto correspondente a um ângulo x tem coordenadas (\cos x,\sin x). Ou seja:
\text{o primeiro número (abcissa)} = \cos x,\qquad \text{o segundo número (ordenada)} = \sin x.úú
Também lembrar as definições trigonométricas em termos de \sin e \cos:
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}=\frac{\cos x}{\sin x},
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},\qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
Aqui \operatorname{cossec} x é o nome usado no enunciado para a cosecante (normalmente escrita \csc x); mantém-se a mesma definição: recíproco de \sin x.

Passo 3

Aplicando a regra do círculo unitário às coordenadas dadas (peguei estes números do enunciado):
\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin x = -\frac{1}{2}.
Antes de prosseguir, é útil identificar o quadrante: \cos x>0 e \sin x<0 significa que x está no quarto quadrante. O ângulo referência (valor absoluto de \sin e \cos) é \dfrac{\pi}{6} porque \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim os sinais estão coerentes com o quarto quadrante.

Passo 4

Calcular \operatorname{tg} x usando a definição \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Substituindo:
\operatorname{tg} x = \frac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
É comum racionalizar o denominador para uma forma padrão. Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{3}:
-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.
Portanto \operatorname{tg} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Calcular \operatorname{cotg} x como recíproco da \operatorname{tg} x (ou diretamente \dfrac{\cos x}{\sin x}). Usando \operatorname{tg} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}:
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}}.
Simplificando \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}, então
\operatorname{cotg} x = -\sqrt{3}.
(Alternativamente, \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = -\sqrt{3}, mesmo resultado.)

Passo 6

Calcular \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x como recíprocos de \cos x e \sin x, respectivamente.
Para \operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.
Portanto \operatorname{sec} x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
Para \operatorname{cossec} x (cosecante):
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{-\dfrac{1}{2}} = -2.

Resposta

\sin x = -\dfrac{1}{2}
\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{tg} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}
\operatorname{cotg} x = -\sqrt{3}
\operatorname{sec} x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}
\operatorname{cossec} x = -2

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