Verifique as identidades trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
Informações dadas (explicitadas):
- A expressão ao lado esquerdo envolve
e e multiplicação por . - A expressão ao lado direito é
. - Deve-se mostrar que as duas expressões são iguais sempre que todas as funções envolvidas estiverem definidas.
Passo 2
Recordando definições e restrições (explicação didática):
-
é a tangente de e, por definição em termos de seno e cosseno,
desde que
(não se pode dividir por zero).
-
é a cotangente de e vale
desde que
.
-
(cosecante) é definida por
também definida apenas quando
.
Portanto, a identidade só pode fazer sentido para tais que
e
.
Portanto, a identidade só pode fazer sentido para
Passo 3
Vamos começar transformando o lado esquerdo usando as definições acima. Substituindo
e
por suas frações:
Passo 4
Agora simplificamos a soma dentro do parêntese fazendo um denominador comum
. Escrevendo a soma de frações:
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica):
Substituindo na fração obtemos
Passo 6
Voltando ao produto com
, temos
Como estamos assumindo
, podemos cancelar
no numerador e denominador, ficando
Passo 7
Mas
é exatamente a definição de
. Portanto chegamos a
sempre que
e
.