Verifique as identidades trigonométricas:
\cos x(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x)=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\cos x\bigl(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x\bigr)=\operatorname{cossec} x.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão ao lado esquerdo envolve \operatorname{tg} x e \operatorname{cotg} x e multiplicação por \cos x.
  • A expressão ao lado direito é \operatorname{cossec} x.
  • Deve-se mostrar que as duas expressões são iguais sempre que todas as funções envolvidas estiverem definidas.

Passo 2

Recordando definições e restrições (explicação didática):
  • \operatorname{tg} x é a tangente de x e, por definição em termos de seno e cosseno,
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x},
desde que \cos x\neq 0 (não se pode dividir por zero).
  • \operatorname{cotg} x é a cotangente de x e vale
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x},
desde que \sin x\neq 0.
  • \operatorname{cossec} x (cosecante) é definida por
\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\sin x},
também definida apenas quando \sin x\neq 0.
Portanto, a identidade só pode fazer sentido para x tais que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0.

Passo 3

Vamos começar transformando o lado esquerdo usando as definições acima. Substituindo \operatorname{tg} x e \operatorname{cotg} x por suas frações:
\cos x\bigl(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x\bigr) =\cos x\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right).

Passo 4

Agora simplificamos a soma dentro do parêntese fazendo um denominador comum \sin x\cos x. Escrevendo a soma de frações:
\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica):
\sin^2 x+\cos^2 x=1.
Substituindo na fração obtemos
\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 6

Voltando ao produto com \cos x, temos
\cos x\left(\frac{1}{\sin x\cos x}\right) =\frac{\cos x}{\sin x\cos x}.
Como estamos assumindo \cos x\neq 0, podemos cancelar \cos x no numerador e denominador, ficando
\frac{\cos x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x}.

Passo 7

Mas \dfrac{1}{\sin x} é exatamente a definição de \operatorname{cossec} x. Portanto chegamos a
\cos x\bigl(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x\bigr)=\frac{1}{\sin x}=\operatorname{cossec} x,
sempre que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0.

Resposta

\cos x\bigl(\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x\bigr)=\operatorname{cossec} x para \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0.

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