Verifique a igualdade das derivadas mistas \left(f_{x y}=f_{y x}\right) para f(x, y)=e^{x y}+y \sin (x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x y}+y\sin(x) e pede para verificar a igualdade das derivadas mistas, isto é, verificar se \,f_{x y}=f_{y x}.
Informações relevantes dadas: a função é explícita para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2 e envolve as operações exponencial e produto com seno.

Passo 2

Primeiro, o que significa calcular uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita f_x, é a taxa de variação de f quando x varia e y é tratado como constante. Em notação:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y).
  • Similarmente, f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) diferencia com respeito a y, tratando x como constante.
    No cálculo das derivadas parciais vamos usar regras que você já conhece: regra do produto e regra da cadeia (para composições como e^{g(x,y)}).

Passo 3

Regras úteis que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Regra da cadeia para uma função do tipo e^{g(x,y)}: ao derivar em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}e^{g(x,y)} = e^{g(x,y)}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial g}{\partial x} é a derivada parcial de g em relação a x.
  • Regra do produto: para u(x,y)v(x,y),
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa f.

Passo 4

Calcular f_x (derivada parcial em relação a x).
A função é
f(x,y)=e^{x y}+y\sin(x).
Derivando termo a termo:
  1. Para e^{x y}: apliquei a regra da cadeia com g(x,y)=x y. Como \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y (pois y é constante quando diferenciamos em relação a x), obtemos
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y\,e^{x y}.
  1. Para y\sin(x): aqui y é constante (no passo de derivar em x), então
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\sin(x)\big)=y\cos(x).
Somando os dois resultados:
f_x(x,y)=y\,e^{x y}+y\cos(x).

Passo 5

Calcular f_{x y} (derivar f_x em relação a y). Partimos de
f_x(x,y)=y\,e^{x y}+y\cos(x).
Derivamos cada termo com respeito a y:
  1. Para y\,e^{x y} usamos a regra do produto ( u=y, v=e^{xy}):
  • \frac{\partial}{\partial y}(y)=1, dando 1\cdot e^{xy}=e^{xy}.
  • mais y vezes \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}. Pela regra da cadeia \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}. Logo essa parte é y\cdot x e^{xy}=x y e^{xy}.
Somando as duas parcelas do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\big)=e^{xy}+x y e^{xy}.
  1. Para y\cos(x): \cos(x) é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\cos(x)\big)=\cos(x).
Portanto
f_{x y}(x,y)=e^{xy}+x y e^{xy}+\cos(x).
Podemos escrever de forma factorizada:
f_{x y}(x,y)=e^{xy}\big(1+xy\big)+\cos(x).

Passo 6

Agora calculamos f_y (derivada parcial em relação a y) a partir de f(x,y)=e^{xy}+y\sin(x).
  1. Para e^{x y}: pela regra da cadeia, \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}, porque \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  2. Para y\sin(x): agora \sin(x) é constante em y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\sin(x)\big)=\sin(x).
Somando:
f_y(x,y)=x e^{xy}+\sin(x).

Passo 7

Calcular f_{y x} (derivar f_y em relação a x). Partimos de
f_y(x,y)=x e^{xy}+\sin(x).
Derivando cada termo com respeito a x:
  1. Para x e^{xy} usamos regra do produto ( u=x, v=e^{xy}):
  • \frac{\partial}{\partial x}(x)=1, dando 1\cdot e^{xy}=e^{xy}.
  • mais x vezes \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}. Pela regra da cadeia \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Então essa parte é x\cdot y e^{xy}=x y e^{xy}.
Somando:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{xy}\big)=e^{xy}+x y e^{xy}.
  1. Para \sin(x): derivada em relação a x é \cos(x).
Logo
f_{y x}(x,y)=e^{xy}+x y e^{xy}+\cos(x),
ou de forma factorizada
f_{y x}(x,y)=e^{xy}\big(1+xy\big)+\cos(x).

Passo 8

Comparando os resultados de f_{x y} e f_{y x} obtidos nos passos anteriores, vemos que são idênticos:
f_{x y}(x,y)=e^{xy}\big(1+xy\big)+\cos(x)=f_{y x}(x,y).
Comentário final: além da verificação direta, como e^{xy} e \sin(x) são funções infinitamente diferenciáveis, todas as segundas derivadas parciais são contínuas, então a igualdade das derivadas mistas é esperada pelo teorema de Clairaut (Teorema de Schwarz). Mas aqui já confirmamos explicitamente calculando.

Resposta

\,f_{x y}=f_{y x}=e^{x y}\big(1+xy\big)+\cos(x)

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