Verifique a igualdade das derivadas mistas
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar a igualdade das derivadas mistas, isto é, verificar se
.
Informações relevantes dadas: a função é explícita para todos os e envolve as operações exponencial e produto com seno.
Informações relevantes dadas: a função é explícita para todos os
Passo 2
Primeiro, o que significa calcular uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando varia e é tratado como constante. Em notação:
- Similarmente,
diferencia com respeito a , tratando como constante.
No cálculo das derivadas parciais vamos usar regras que você já conhece: regra do produto e regra da cadeia (para composições como).
Passo 3
Regras úteis que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra da cadeia para uma função do tipo
: ao derivar em relação a ,
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
.
- Regra do produto: para
,
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa
.
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
).
A função é
A função é
Derivando termo a termo:
- Para
: apliquei a regra da cadeia com . Como (pois é constante quando diferenciamos em relação a ), obtemos
- Para
: aqui é constante (no passo de derivar em ), então
Somando os dois resultados:
Passo 5
Calcular
(derivar
em relação a
). Partimos de
Derivamos cada termo com respeito a
:
- Para
usamos a regra do produto ( , ):
-
, dando . - mais
vezes . Pela regra da cadeia . Logo essa parte é .
Somando as duas parcelas do produto:
- Para
: é constante em relação a , então
Portanto
Podemos escrever de forma factorizada:
Passo 6
Agora calculamos
(derivada parcial em relação a
) a partir de
.
-
Para
: pela regra da cadeia, , porque . -
Para
: agora é constante em , então
Somando:
Passo 7
Calcular
(derivar
em relação a
). Partimos de
Derivando cada termo com respeito a
:
- Para
usamos regra do produto ( , ):
-
, dando . - mais
vezes . Pela regra da cadeia . Então essa parte é .
Somando:
- Para
: derivada em relação a é .
Logo
ou de forma factorizada
Passo 8
Comparando os resultados de
e
obtidos nos passos anteriores, vemos que são idênticos:
Comentário final: além da verificação direta, como
e
são funções infinitamente diferenciáveis, todas as segundas derivadas parciais são contínuas, então a igualdade das derivadas mistas é esperada pelo teorema de Clairaut (Teorema de Schwarz). Mas aqui já confirmamos explicitamente calculando.