a) Calcule f_{x x}, f_{y y}, f_{x y} e f_{y x} para f(x, y)=x^{4}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}.
Calcule \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} para a função z=x^{2} e^{2 y}+y \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Para a função f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}, calcular as segundas derivadas parciais \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e \,f_{yx}.
  2. Para a função z(x,y)=x^{2}e^{2y}+y\cos(x), calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}.
Informações dadas:
f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}, \qquad z(x,y)=x^{2}e^{2y}+y\cos(x).

Passo 2

Regra importante antes de começar (explicação didática curta): ao calcular derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) você trata a outra variável ( y) como constante. Use as regras usuais de derivação: regra do poder ( \frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}), produto com constante, e para funções trigonométricas e exponenciais as derivadas conhecidas ( \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax} quando a é constante).
Começo achando as derivadas parciais de primeira ordem de f.
Calcule \,f_x (derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante):
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}x^{4}+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}2y^{2}.
Agora as partes:
\frac{\partial}{\partial x}x^{4}=4x^{3},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=2x\,y^{3}\quad(\text{pois }y^{3}\text{ é constante em relação a }x), \qquad \frac{\partial}{\partial x}2y^{2}=0.éçã
Logo
f_x=4x^{3}+2x\,y^{3}.
Calcule \,f_y (derivada parcial em relação a y, tratando x como constante):
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}\bigr) =0+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}2y^{2}.
As partes:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}2y^{2}=4y.
Portanto
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 3

Agora calcule as segundas derivadas a partir de f_x e f_y.
Primeiro \,f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x). Temos f_x=4x^{3}+2x\,y^{3}. Diferenciando em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}+2x\,y^{3}\bigr) =12x^{2}+2y^{3}.
Explanação: a derivada de 4x^{3} é 12x^{2} (regra do poder) e de 2x\,y^{3} é 2y^{3} (pois y^{3} é constante em relação a x).

Passo 4

Calcule \,f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x). Partimos de f_x=4x^{3}+2x\,y^{3} e derivamos em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}+2x\,y^{3}\bigr) =0+2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
Explicação: 4x^{3} vira 0 porque não depende de y; para 2x\,y^{3} tratamos 2x como constante multiplicando a derivada de y^{3}, que é 3y^{2}.

Passo 5

Calcule \,f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y). Lembre que f_y=3x^{2}y^{2}-4y. Derivando em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}-4y\bigr) =3x^{2}\cdot 2y -4 =6x^{2}y-4.
Explicação: 3x^{2} é constante em relação a y, multiplica a derivada de y^{2}, que é 2y.

Passo 6

Calcule \,f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y). Partimos de f_y=3x^{2}y^{2}-4y e derivamos em relação a x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}-4y\bigr) =3\cdot 2x\,y^{2}-0=6x\,y^{2}.
Observação didática e curta: notamos que \,f_{xy}=6x\,y^{2}=\!f_{yx}. Em funções suficientemente suaves é esperado que as derivadas mistas coincidam — aqui deu certo.

Passo 7

Agora resolvemos a segunda parte: calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} para z(x,y)=x^{2}e^{2y}+y\cos(x).
Primeiro calcule \,z_x=\frac{\partial z}{\partial x}. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
Para o termo x^{2}e^{2y}, e^{2y} é constante (pois depende só de y), então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{2y}\bigr)=2x\,e^{2y}.
Para o termo y\cos(x), y é constante multiplicando \cos(x), logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\cos(x)\bigr)=y\cdot(-\sin(x))=-y\sin(x).
Portanto
z_x=2x\,e^{2y}-y\sin(x).

Passo 8

Agora calcule \,z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(z_x). Partimos de z_x=2x\,e^{2y}-y\sin(x).
Derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{2y}\bigr)=2e^{2y}\quad(\text{pois }e^{2y}\text{ é constante em }x),é
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y\sin(x)\bigr)=-y\cos(x).
Logo
z_{xx}=2e^{2y}-y\cos(x).

Resposta

f_{xx}=12x^{2}+2y^{3},\quad f_{yy}=6x^{2}y-4,\quad f_{xy}=6x\,y^{2},\quad f_{yx}=6x\,y^{2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2e^{2y}-y\cos(x)

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