a) Calcule
e
para
.
Calcule
para a função
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
-
Para a função
, calcular as segundas derivadas parciais e . -
Para a função
, calcular .
Informações dadas:
Passo 2
Regra importante antes de começar (explicação didática curta): ao calcular derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
) você trata a outra variável (
) como constante. Use as regras usuais de derivação: regra do poder (
), produto com constante, e para funções trigonométricas e exponenciais as derivadas conhecidas (
,
quando
é constante).
Começo achando as derivadas parciais de primeira ordem de
.
Calcule
(derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante):
Agora as partes:
Logo
Calcule
(derivada parcial em relação a
, tratando
como constante):
As partes:
Portanto
Passo 3
Agora calcule as segundas derivadas a partir de
e
.
Primeiro
. Temos
. Diferenciando em relação a
:
Explanação: a derivada de
é
(regra do poder) e de
é
(pois
é constante em relação a
).
Passo 4
Calcule
. Partimos de
e derivamos em relação a
:
Explicação:
vira
porque não depende de
; para
tratamos
como constante multiplicando a derivada de
, que é
.
Passo 5
Calcule
. Lembre que
. Derivando em relação a
:
Explicação:
é constante em relação a
, multiplica a derivada de
, que é
.
Passo 6
Calcule
. Partimos de
e derivamos em relação a
:
Observação didática e curta: notamos que
. Em funções suficientemente suaves é esperado que as derivadas mistas coincidam — aqui deu certo.
Passo 7
Agora resolvemos a segunda parte: calcular
para
.
Primeiro calcule
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Para o termo
,
é constante (pois depende só de
), então
Para o termo
,
é constante multiplicando
, logo
Portanto
Passo 8
Agora calcule
. Partimos de
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Logo