a) Calcule
e
para
.
Verifique a igualdade das derivadas mistas
para
.
Verifique a igualdade das derivadas mistas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Para
: calcule as segundas derivadas parciais e . - Para
: verifique se as derivadas mistas são iguais, isto é, verifique se .
Informações dadas:
- As duas funções
estão explicitadas. - Preciso calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar as mistas.
Passo 2
Rápida revisão do que é necessário saber (passo-a-passo, bem mastigado):
- Derivada parcial em relação a
(escrita ) significa: diferenciar tratando como constante. Analogamente para . - Regras usadas:
- Regra da potência:
. - Constante multiplicativa: constante sai da derivada.
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia (quando aparece
): .
- Regra da potência:
- Exemplo curto para lembrar: ao derivar
em relação a , é tratado como constante, então .
Agora aplicamos essas ideias nas duas funções.
Passo 3
Começando por
. Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
Aplicando as regras:
Portanto
Passo 4
Agora
. Diferenciando
em relação a
(aqui
é constante):
Logo
Passo 5
Agora a mista
. Tomamos
e diferenciamos em relação a
(agora
é constante):
Portanto
Passo 6
Calculemos as derivadas parciais começando por
. Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Aqui
Com o sinal negativo,
Passo 7
Agora
. Diferenciando
em relação a
(com
constante):
Logo
Passo 8
Finalmente
. Tomando
e diferenciando em relação a
(com
constante):
Portanto
Observação: para esta função
.
Passo 9
Agora a segunda parte:
. Vamos calcular as mistas e comparar. Primeiro
:
Diferenciando em relação a
:
- Para
: usar regra da cadeia. Se , então . Aqui . Então . - Para
: é constante em relação a , então .
Logo
Passo 10
Calcule
. Tomando
:
- Para
: aplicar a regra do produto em . Derivada em relação a : E . Então o total é . - Para
: (pois é constante em ).
Somando,
Podemos fatorar como
.
Passo 11
Agora
: derivando
em relação a
:
-
. -
.
Portanto
Passo 12
Por fim
. Tomando
:
- Para
: aplicar a regra do produto em . Derivando em relação a : E . Então obtemos . - Para
: .
Somando,
Portanto
, conforme pedido.
Resposta
Para
:
Para
: