a) Calcule f_{x x}, f_{y y}, f_{x y} e f_{y x} para f(x, y)=x^{4}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}.
Verifique a igualdade das derivadas mistas \left(f_{x y}=f_{y x}\right) para f(x, y)=e^{x y}+y \sin (x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Para f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}: calcule as segundas derivadas parciais \,f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy} e \,f_{yx}.
  2. Para f(x,y)=e^{xy}+y\sin(x): verifique se as derivadas mistas são iguais, isto é, verifique se \,f_{xy}=f_{yx}.
Informações dadas:
  • As duas funções f(x,y) estão explicitadas.
  • Preciso calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar as mistas.

Passo 2

Rápida revisão do que é necessário saber (passo-a-passo, bem mastigado):
  • Derivada parcial em relação a x (escrita \,f_x=\partial f/\partial x) significa: diferenciar f tratando y como constante. Analogamente para \,f_y.
  • Regras usadas:
    • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
    • Constante multiplicativa: constante sai da derivada.
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
    • Regra da cadeia (quando aparece e^{g(x,y)}): \dfrac{d}{dx}e^{g}=e^{g}\,g'.
  • Exemplo curto para lembrar: ao derivar x^{2}y^{3} em relação a x, y^{3} é tratado como constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3})=2x\,y^{3}.
Agora aplicamos essas ideias nas duas funções.

Passo 3

Começando por f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}. Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a x, tratando y como constante:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{2}\big).
Aplicando as regras:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big)=4x^{3},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=2x\,y^{3},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{2}\big)=0.
Portanto
f_x=4x^{3}+2x\,y^{3}.

Passo 4

Agora f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x). Diferenciando f_x=4x^{3}+2x\,y^{3} em relação a x (aqui y é constante):
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{3})=12x^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(2x\,y^{3})=2y^{3}.
Logo
f_{xx}=12x^{2}+2y^{3}.

Passo 5

Agora a mista f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Tomamos f_x=4x^{3}+2x\,y^{3} e diferenciamos em relação a y (agora x é constante):
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3})=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(2x\,y^{3})=2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
Portanto
f_{xy}=6x\,y^{2}.

Passo 6

Calculemos as derivadas parciais começando por f_y. Derivando f em relação a y (tratando x como constante):
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{2}\big).
Aqui
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}\big)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{2}\big)=4y.
Com o sinal negativo,
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 7

Agora f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y). Diferenciando f_y=3x^{2}y^{2}-4y em relação a y (com x constante):
\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2})=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4.
Logo
f_{yy}=6x^{2}y-4.

Passo 8

Finalmente f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Tomando f_y=3x^{2}y^{2}-4y e diferenciando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2})=3\cdot 2x\,y^{2}=6x\,y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-4y)=0.
Portanto
f_{yx}=6x\,y^{2}.
Observação: para esta função f_{xy}=f_{yx}=6x\,y^{2}.

Passo 9

Agora a segunda parte: f(x,y)=e^{xy}+y\sin(x). Vamos calcular as mistas e comparar. Primeiro f_x:
Diferenciando em relação a x:
  • Para e^{xy}: usar regra da cadeia. Se g(x,y)=xy, então \dfrac{\partial}{\partial x}e^{g}=e^{g}\cdot g_x. Aqui g_x=y. Então \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\,e^{xy}.
  • Para y\sin(x): y é constante em relação a x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x.
Logo
f_x = y\,e^{xy} + y\cos x.

Passo 10

Calcule f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Tomando f_x=y\,e^{xy}+y\cos x:
  • Para y\,e^{xy}: aplicar a regra do produto em y\cdot e^{xy}. Derivada em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(y\cdot e^{xy}) = 1\cdot e^{xy} + y\cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}).E \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy})=x\,e^{xy}. Então o total é e^{xy}+xy\,e^{xy}.
  • Para y\cos x: \dfrac{\partial}{\partial y}(y\cos x)=\cos x (pois \cos x é constante em y).
Somando,
f_{xy}=e^{xy}+xy\,e^{xy}+\cos x.
Podemos fatorar como \,f_{xy}=(1+xy)e^{xy}+\cos x.

Passo 11

Agora f_y: derivando f em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy})=x\,e^{xy}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x.
Portanto
f_y = x\,e^{xy} + \sin x.

Passo 12

Por fim f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Tomando f_y=x\,e^{xy}+\sin x:
  • Para x\,e^{xy}: aplicar a regra do produto em x\cdot e^{xy}. Derivando em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}(x\cdot e^{xy}) = 1\cdot e^{xy} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}).E \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy})=y\,e^{xy}. Então obtemos e^{xy}+xy\,e^{xy}.
  • Para \sin x: \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin x)=\cos x.
Somando,
f_{yx}=e^{xy}+xy\,e^{xy}+\cos x.
Portanto f_{yx}=f_{xy}, conforme pedido.

Resposta

Para f(x,y)=x^{4}+x^{2}y^{3}-2y^{2}:
f_{xx}=12x^{2}+2y^{3}
f_{yy}=6x^{2}y-4
f_{xy}=6x\,y^{2}
f_{yx}=6x\,y^{2}
Para f(x,y)=e^{xy}+y\sin(x):
f_{xy}=f_{yx}=e^{xy}+xy\,e^{xy}+\cos x

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