Verifique a igualdade por diferenciação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se para verificar por diferenciação que a igualdade abaixo é verdadeira:
- Informações fornecidas: o integrando é
e o candidato a primitiva (antiderivada) é . - Plano (curto e direto): diferenciar a função do lado direito e checar se obtemos exatamente o integrando do lado esquerdo. Se sim, a igualdade está verificada.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação didática).
- Regra da cadeia: se
, então
Isto diz que para derivar uma função composta pega-se a derivada da função externa avaliada na interna e multiplica-se pela derivada da função interna.
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então
- Derivada da função seno:
. - Regra do potência (aplicada com cadeia): se
, então
Exemplo simples:
(aqui
e
).
Passo 3
Diferenciação passo a passo do lado direito. Seja
Aplicando a regra do fator constante e a regra da cadeia:
Agora derivamos
usando a regra do potência com cadeia:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 4
Conclusão da verificação por diferenciação.
Como , então a função
é realmente uma primitiva do integrando
. Portanto a igualdade está verificada.
Como
Passo 5
Uma observação prática que ajuda na prova: quando o integrando tem a forma
, ou seja,
, a primitiva é
. No nosso caso
,
e
, daí diretamente vem
. Isso é exatamente a técnica de substituição
que também resolve a integral.