Verifique a igualdade por diferenciação.
int \operatorname{sen}^{2}(x) \cos (x) d x=\frac{1}{3} \operatorname{sen}^{3}(x)+c

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se para verificar por diferenciação que a igualdade abaixo é verdadeira:
\int \operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\,dx=\frac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C.
  • Informações fornecidas: o integrando é \operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x) e o candidato a primitiva (antiderivada) é \dfrac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C.
  • Plano (curto e direto): diferenciar a função do lado direito e checar se obtemos exatamente o integrando do lado esquerdo. Se sim, a igualdade está verificada.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação didática).
  • Regra da cadeia: se F(x)=h(g(x)), então
\frac{d}{dx}F(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Isto diz que para derivar uma função composta pega-se a derivada da função externa avaliada na interna e multiplica-se pela derivada da função interna.
  • Regra do fator constante: se a é constante e G(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big(a\cdot G(x)\big)=a\cdot G'(x).
  • Derivada da função seno: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big)=\cos(x).
  • Regra do potência (aplicada com cadeia): se G(x)=(g(x))^n, então
\frac{d}{dx} (g(x))^n = n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x).
Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^3(x)\big)=3\operatorname{sen}^2(x)\cdot\cos(x) (aqui g(x)=\operatorname{sen}(x) e n=3).

Passo 3

Diferenciação passo a passo do lado direito. Seja
F(x)=\frac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}F(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{3}(x)\big).
Agora derivamos \operatorname{sen}^{3}(x) usando a regra do potência com cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{3}(x)\big)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot\cos(x).
Substituindo na expressão anterior:
\frac{d}{dx}F(x)=\frac{1}{3}\cdot\big(3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\big)=\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x).

Passo 4

Conclusão da verificação por diferenciação.
Como \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C\big)=\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x), então a função \tfrac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C é realmente uma primitiva do integrando \operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x). Portanto a igualdade está verificada.

Passo 5

Uma observação prática que ajuda na prova: quando o integrando tem a forma (\text{algo})^{n}\cdot(\text{derivada desse algo}), ou seja, g(x)^n\cdot g'(x), a primitiva é \dfrac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C. No nosso caso g(x)=\operatorname{sen}(x), g'(x)=\cos(x) e n=2, daí diretamente vem \dfrac{\operatorname{sen}^{3}(x)}{3}+C. Isso é exatamente a técnica de substituição u=\operatorname{sen}(x) que também resolve a integral.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\,dx=\frac{1}{3}\operatorname{sen}^{3}(x)+C

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