Verifique a igualdade por diferenciação.
int(x+13)^{-5} d x=-\frac{1}{4}(x+13)^{-4}+c

Passo 1

O enunciado dá a igualdade a ser verificada por diferenciação:
\int (x+13)^{-5}\,dx = -\frac{1}{4}(x+13)^{-4}+C.
O que se pede: diferenciar o membro direito e mostrar que a derivada é exatamente o integrando (x+13)^{-5}. Vou trabalhar com a função a ser derivada e verificar que sua derivada coincide com o integrando.

Passo 2

Lembrete das regras que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da potência: se n é um número e u(x) é uma função, então a derivada de u(x)^n é dada pela regra da cadeia combinada com a potência:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^n\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). No nosso caso a função interna será u(x)=x+13 e n=-4.

Passo 3

Agora aplico a diferenciação passo a passo à função do lado direito:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}(x+13)^{-4}+C\right) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x+13)^{-4}\bigr) + \frac{d}{dx}C.
Usando a regra da cadeia com u(x)=x+13 e n=-4:
\frac{d}{dx}\bigl((x+13)^{-4}\bigr)= -4\,(x+13)^{-5}\cdot\frac{d}{dx}(x+13).
Como \frac{d}{dx}(x+13)=1, temos
\frac{d}{dx}\bigl((x+13)^{-4}\bigr)= -4\,(x+13)^{-5}.
Substituindo na expressão anterior e lembrando que \frac{d}{dx}C=0:
-\frac{1}{4}\cdot\bigl(-4\,(x+13)^{-5}\bigr)+0=(x+13)^{-5}.

Passo 4

Chegamos ao integrando desejado: a derivada do membro direito é exatamente (x+13)^{-5}. Portanto a primitiva dada está correta. Boa! Isso significa que, na prova, basta aplicar a regra da potência e a cadeia como fizemos.

Resposta

\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}(x+13)^{-4}+C\right)=(x+13)^{-5}

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