Verifique a igualdade por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar por diferenciação a igualdade proposta. As informações dadas são:
- A integral proposta é
. - A antiderivada proposta é
.
O que precisamos checar é se a derivada da funçãoé igual à função integranda .
Passo 2
Plano: diferenciar o lado direito e ver se obtemos o integrando. Para isso vamos usar duas regras de cálculo diferencial que são essenciais:
- Regra da potência (power rule): a derivada de
em relação a é . - Regra da cadeia (chain rule): se uma função é composta
, então .
Vou explicar essas regras de forma bem direta antes de aplicar.
Passo 3
Explicação das regras (com linguagem simples):
- Regra da potência: se
com inteiro, então . Por exemplo, . - Regra da cadeia: se
, pense em primeiro derivar em relação a seu argumento (obter ) e depois multiplicar pela derivada de em relação a (ou seja, ). Em notação,
Exemplo simples: para
, pegue
e
. Então
Isso ilustra as duas ideias juntas.
Passo 4
Aplique ao problema. Defina
. A função a diferenciar é
Agora aplicamos a regra da cadeia e a regra da potência passo a passo:
- A derivada da constante
é . - A derivada de
é vezes a derivada de . - Usando regra da potência e cadeia,
- Como
, temos .
Juntando tudo:
Voltando à variável
,
Passo 5
Conclusão e comentário final: a derivada da função proposta é exatamente o integrando
. Isso confirma que
é uma antiderivada correta. Observação prática útil para a prova: para integrais da forma
com
e
, a resposta geral é
e aqui
,
dá exatamente
.