Verifique a igualdade por diferenciação.
int(x+13)^{6} d x=\frac{1}{7}(x+13)^{7}+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar por diferenciação a igualdade proposta. As informações dadas são:
  • A integral proposta é \int (x+13)^{6}\,dx.
  • A antiderivada proposta é \dfrac{1}{7}(x+13)^{7}+C.
    O que precisamos checar é se a derivada da função \dfrac{1}{7}(x+13)^{7}+C é igual à função integranda (x+13)^{6}.

Passo 2

Plano: diferenciar o lado direito e ver se obtemos o integrando. Para isso vamos usar duas regras de cálculo diferencial que são essenciais:
  • Regra da potência (power rule): a derivada de t^{n} em relação a t é n t^{n-1}.
  • Regra da cadeia (chain rule): se uma função é composta F(x)=g(u(x)), então F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Vou explicar essas regras de forma bem direta antes de aplicar.

Passo 3

Explicação das regras (com linguagem simples):
  • Regra da potência: se g(t)=t^{n} com n inteiro, então \dfrac{dg}{dt}=n\,t^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(u(x)), pense em primeiro derivar g em relação a seu argumento u (obter g'(u)) e depois multiplicar pela derivada de u em relação a x (ou seja, u'(x)). Em notação,
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Exemplo simples: para F(x)=(2x+1)^{3}, pegue g(t)=t^{3} e u(x)=2x+1. Então
\frac{d}{dx}(2x+1)^{3}=3(2x+1)^{2}\cdot(2)=6(2x+1)^{2}.
Isso ilustra as duas ideias juntas.

Passo 4

Aplique ao problema. Defina u(x)=x+13. A função a diferenciar é
\frac{1}{7}u(x)^{7}+C.
Agora aplicamos a regra da cadeia e a regra da potência passo a passo:
  • A derivada da constante C é 0.
  • A derivada de \dfrac{1}{7}u(x)^{7} é \dfrac{1}{7} vezes a derivada de u(x)^{7}.
  • Usando regra da potência e cadeia,
\frac{d}{dx}u(x)^{7}=7\,u(x)^{6}\cdot u'(x).
  • Como u(x)=x+13, temos u'(x)=1.
    Juntando tudo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{7}u(x)^{7}+C\right) = \frac{1}{7}\cdot\bigl(7\,u(x)^{6}\cdot 1\bigr)+0 = u(x)^{6}.
Voltando à variável x,
u(x)^{6}=(x+13)^{6}.

Passo 5

Conclusão e comentário final: a derivada da função proposta é exatamente o integrando (x+13)^{6}. Isso confirma que \dfrac{1}{7}(x+13)^{7}+C é uma antiderivada correta. Observação prática útil para a prova: para integrais da forma \int (ax+b)^{n}\,dx com a\neq0 e n\neq-1, a resposta geral é
\int (ax+b)^{n}\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C,
e aqui a=1, n=6 dá exatamente \dfrac{1}{7}(x+13)^{7}+C.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{7}(x+13)^{7}+C\right)=(x+13)^{6}

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