Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int \frac{2 t^{2}-1}{t^{2}} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:\n
  • Pede para calcular a integral \displaystyle \int \frac{2 t^{2}-1}{t^{2}}\,dt.\n
  • Pede também para verificar a resposta por diferenciação.\n
    Informação dada: a variável de integração é t. Não há outras condições.

Passo 2

Simplificar a expressão do integrando antes de integrar (isso facilita muito na prova).\n
Dividindo termo a termo por t^{2} temos:
\frac{2 t^{2}-1}{t^{2}}=\frac{2 t^{2}}{t^{2}}-\frac{1}{t^{2}}=2-\frac{1}{t^{2}}.
Aqui usei a propriedade \dfrac{a-b}{c}=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c} e \dfrac{t^{2}}{t^{2}}=1.

Passo 3

Lembrar das regras de integração que vou usar (passo-a-passo e com explicação):\n
  • Linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dt=\int f\,dt+\int g\,dt e \displaystyle \int c\cdot f\,dt = c\int f\,dt onde c é constante.\n
  • Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui t é a variável de integração e n é o expoente.

Passo 4

Aplicar a linearidade e a regra da potência ao integrando simplificado.\n
Escrevendo a integral com a forma simplificada:
\int \frac{2 t^{2}-1}{t^{2}}\,dt=\int\left(2-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt.
Agora integro termo a termo:
  • Para \displaystyle \int 2\,dt: trata-se de uma constante multiplicando t, logo
\int 2\,dt = 2t + C_{1}.
  • Para \displaystyle \int \left(-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt: escrevo -\dfrac{1}{t^{2}}=-t^{-2} e uso a regra da potência com n=-2:
\int -t^{-2}\,dt = -\int t^{-2}\,dt = -\frac{t^{-1}}{-1} = +t^{-1} + C_{2}.
Somando as partes e combinando as constantes ( C=C_{1}+C_{2}), obtemos a primitiva:
F(t)=2t + t^{-1} + C.
Escrever t^{-1} como 1/t deixa mais legível:
F(t)=2t+\frac{1}{t}+C.

Passo 5

Explicar o que é C e por que aparece: \n
A primitiva é determinada até uma constante porque a derivada de qualquer constante é zero. Então todas as funções F(t)+C têm a mesma derivada e são todas primitivas da integranda dada. Por isso adicionamos C.

Passo 6

Verificação por diferenciação (pegar a primitiva encontrada e derivar para ver se volta ao integrando):\n
Tomando F(t)=2t+\dfrac{1}{t}+C. Calculo F'(t) termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}\big(2t\big)=2, porque a derivada de at é a quando a é constante.\n
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{d}{dt}\big(t^{-1}\big)=-1\cdot t^{-2}=-\dfrac{1}{t^{2}}, pela regra da potência aplicada à derivação.\n
  • \dfrac{d}{dt}\text{(C)}=0.\n
    Somando:
F'(t)=2-\frac{1}{t^{2}}.
Agora volto à forma original do integrando:
2-\frac{1}{t^{2}}=\frac{2t^{2}-1}{t^{2}}.
Portanto F'(t)=\dfrac{2t^{2}-1}{t^{2}}, que é exatamente o integrando. Verificação concluída.

Resposta

2t+\dfrac{1}{t}+C

Exercícios relacionados