Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:\n
- Pede para calcular a integral
.\n - Pede também para verificar a resposta por diferenciação.\n
Informação dada: a variável de integração é. Não há outras condições.
Passo 2
Simplificar a expressão do integrando antes de integrar (isso facilita muito na prova).\n
Dividindo termo a termo por temos:
Dividindo termo a termo por
Aqui usei a propriedade
e
.
Passo 3
Lembrar das regras de integração que vou usar (passo-a-passo e com explicação):\n
- Linearidade:
e onde é constante.\n - Regra da potência (power rule): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
Passo 4
Aplicar a linearidade e a regra da potência ao integrando simplificado.\n
Escrevendo a integral com a forma simplificada:
Escrevendo a integral com a forma simplificada:
Agora integro termo a termo:
- Para
: trata-se de uma constante multiplicando , logo
- Para
: escrevo e uso a regra da potência com :
Somando as partes e combinando as constantes (
), obtemos a primitiva:
Escrever
como
deixa mais legível:
Passo 5
Explicar o que é
e por que aparece: \n
A primitiva é determinada até uma constante porque a derivada de qualquer constante é zero. Então todas as funções têm a mesma derivada e são todas primitivas da integranda dada. Por isso adicionamos
.
A primitiva é determinada até uma constante porque a derivada de qualquer constante é zero. Então todas as funções
Passo 6
Verificação por diferenciação (pegar a primitiva encontrada e derivar para ver se volta ao integrando):\n
Tomando . Calculo
termo a termo:
Tomando
-
, porque a derivada de é quando é constante.\n -
, pela regra da potência aplicada à derivação.\n -
.\n
Somando:
Agora volto à forma original do integrando:
Portanto
, que é exatamente o integrando. Verificação concluída.