Verifique que as igualdades abaixo valem para todo valor de
, onde
é um número inteiro qualquer. Tais igualdades são chamadas identidades trigonométricas.
\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}=\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}
\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}=\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
para todo
.
Aqui vamos usar a identidade pitagórica
Aqui vamos usar a identidade pitagórica
e observar as condições de existência (denominadores não nulos).
Passo 2
Condição de existência das frações:
-
, o que ocorre em . -
.
Como excluímos, garantimos que nenhum denominador é zero.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo produto
, que é não nulo no domínio, obtendo
Passo 4
Expandimos o produto e aplicamos a identidade pitagórica:
Logo chegamos a
, confirmando a igualdade original.
Resposta
A identidade
é válida para todo
.