Caso
seja diferenciável,
seja definida por
e os valores de
e
na origem sejam dados por
e
, verifique que a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
é igual a 2 .
SUGESTÃO: Regra da cadeia.
¹Ou seja, caso exista
para cada
do domínio de
.
SUGESTÃO: Regra da cadeia.
¹Ou seja, caso exista
Passo 1
O enunciado pede para verificar a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. As informações dadas são:
-
é diferenciável (ou seja, existe para todo do domínio de ); -
é definida por ; -
; -
.
A pergunta concreta é: mostrar que a inclinação da reta tangente a
no ponto
é igual a
.
Passo 2
Lembrete importante sobre o que significa “inclinação da reta tangente”: a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
é exatamente o valor de
, isto é, a derivada de
avaliada em
. Então a tarefa reduz-se a calcular
.
Explicando de forma simples: se uma função é diferenciável num ponto, pequenas variações
em
produzem variações aproximadas
. O coeficiente
é a inclinação da tangente.
Passo 3
Agora precisamos de uma regra para derivar
. Isso é um caso de composição de funções:
com
e
. A regra que usamos é a seguinte:
Se
e
e
são diferenciáveis, então
Esta é a chamada regra da cadeia. Intuição bem direta: muda-se primeiro
e depois aplica-se
sobre
; a variação total é a variação de
em relação a
vezes a variação de
em relação a
.
Também precisamos da derivada de
. Usando a regra de potências (derivada de
é
), temos
Aqui
representa a variável de
, e no contexto de
temos
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao nosso
: primeiro identificamos
e
. Assim
Ou seja, para qualquer
do domínio,
Passo 5
Agora avaliamos em
usando os dados fornecidos:
e
.
Calculemos passo a passo:
Logo
Simplificando: o
no numerador cancela com o
no denominador, ficando
Portanto a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
é
. Boa! Foi só aplicar a regra da cadeia e substituir os valores.