Caso f seja diferenciável, h seja definida por h(x)=(f(x))^{3} e os valores de f e f^{\prime} na origem sejam dados por f(0)=-\frac{1}{2} e f^{\prime}(0)=\frac{8}{3}, verifique que a inclinação da reta tangente ao gráfico de h em x=0 é igual a 2 .
SUGESTÃO: Regra da cadeia.
¹Ou seja, caso exista f^{\prime}(x) para cada x do domínio de f.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a inclinação da reta tangente ao gráfico de h em x=0. As informações dadas são:
  • f é diferenciável (ou seja, f'(x) existe para todo x do domínio de f);
  • h é definida por h(x) = (f(x))^{3};
  • f(0) = -\dfrac{1}{2};
  • f^{\prime}(0) = \dfrac{8}{3}.
A pergunta concreta é: mostrar que a inclinação da reta tangente a h no ponto x=0 é igual a 2.

Passo 2

Lembrete importante sobre o que significa “inclinação da reta tangente”: a inclinação da reta tangente ao gráfico de h em x=0 é exatamente o valor de h^{\prime}(0), isto é, a derivada de h avaliada em 0. Então a tarefa reduz-se a calcular h^{\prime}(0).
Explicando de forma simples: se uma função é diferenciável num ponto, pequenas variações \Delta x em x produzem variações aproximadas \Delta h \approx h^{\prime}(x)\,\Delta x. O coeficiente h^{\prime}(x) é a inclinação da tangente.

Passo 3

Agora precisamos de uma regra para derivar h(x)=(f(x))^{3}. Isso é um caso de composição de funções: h(x) = g(f(x)) com g(u)=u^{3} e u=f(x). A regra que usamos é a seguinte:
Se h(x)=g(f(x)) e g e f são diferenciáveis, então
h^{\prime}(x) = g^{\prime}\big(f(x)\big)\cdot f^{\prime}(x).
Esta é a chamada regra da cadeia. Intuição bem direta: muda-se primeiro u=f(x) e depois aplica-se g sobre u; a variação total é a variação de g em relação a u vezes a variação de u em relação a x.
Também precisamos da derivada de g(u)=u^{3}. Usando a regra de potências (derivada de u^{n} é n u^{n-1}), temos
g^{\prime}(u)=3u^{2}.
Aqui u representa a variável de g, e no contexto de h temos u=f(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso h: primeiro identificamos g(u)=u^{3} e u=f(x). Assim
h^{\prime}(x) = g^{\prime}\big(f(x)\big)\cdot f^{\prime}(x) = 3\big(f(x)\big)^{2}\cdot f^{\prime}(x).
Ou seja, para qualquer x do domínio,
h^{\prime}(x) = 3\,(f(x))^{2}\,f^{\prime}(x).

Passo 5

Agora avaliamos em x=0 usando os dados fornecidos: f(0) = -\dfrac{1}{2} e f^{\prime}(0)=\dfrac{8}{3}.
Calculemos passo a passo:
(f(0))^{2} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}.
Logo
h^{\prime}(0) = 3\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{8}{3}.
Simplificando: o 3 no numerador cancela com o 3 no denominador, ficando
h^{\prime}(0) = \dfrac{1}{4}\cdot 8 = \dfrac{8}{4} = 2.
Portanto a inclinação da reta tangente ao gráfico de h em x=0 é 2. Boa! Foi só aplicar a regra da cadeia e substituir os valores.

Resposta

2

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