1. f(x)=e^{x}+3 e^{-x} não tem ponto de máximo e \ln \sqrt{3} é seu único ponto de mínimo. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique (corretamente) a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x}+3e^{-x}
definida para todos os x\in\mathbb{R}. A afirmação a avaliar é: " f não tem ponto de máximo e \ln\sqrt{3} é seu único ponto de mínimo."
O que devemos mostrar (lista clara):
  • encontrar todos os pontos críticos de f (onde f'(x)=0 ou f' não existe);
  • decidir se esses pontos são mínimo, máximo ou nenhum dos dois;
  • verificar se existe ponto de máximo global;
  • verificar unicidade do mínimo em x=\ln\sqrt{3}.

Passo 2

Vou calcular a derivada f'(x) explicando passo a passo as regras usadas. Lembre que:
  • a derivada de e^{x} é e^{x};
  • a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da cadeia: derivada do expoente -x é -1).
    Aplicando isso em cada termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(3e^{-x}\big)=e^{x}+3\cdot(-e^{-x})=e^{x}-3e^{-x}.
Portanto,
f'(x)=e^{x}-3e^{-x}.

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Parto de
e^{x}-3e^{-x}=0.
Multiplico ambos os lados por e^{x} (que é sempre positivo, então não muda soluções):
e^{2x}-3=0.
Logo
e^{2x}=3.
Tomando logaritmo natural,
2x=\ln 3\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}\ln 3=\ln\sqrt{3}.
Como a exponencial é injetora, essa é a única solução — ou seja, há exatamente um ponto crítico: x=\ln\sqrt{3}.

Passo 4

Calculo a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada e também para estudar convexidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-3e^{-x}\big)=e^{x}-3\cdot(-e^{-x})=e^{x}+3e^{-x}.
Observação importante: para todo x temos e^{x}>0 e e^{-x}>0, então
f''(x)=e^{x}+3e^{-x}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Significado prático: f''(x)>0 implica que f é estritamente convexa (curvatura voltada para cima) em toda a reta, e que qualquer ponto crítico é um mínimo estrito.

Passo 5

Pelo teste da segunda derivada, no ponto crítico x=\ln\sqrt{3} temos f''\big(\ln\sqrt{3}\big)>0, portanto esse ponto é um mínimo estrito. Como existe exatamente um ponto crítico, esse é o único ponto onde f' se anula e, por ser estritamente convexa, não pode haver outro mínimo local nem máximo local.
Também podemos analisar o sinal de f' para ver monotonicidade: escrevendo
f'(x)=e^{-x}\big(e^{2x}-3\big),
como e^{-x}>0 sempre, o sinal de f' é o sinal de e^{2x}-3. Portanto:
  • se x<\ln\sqrt{3} então e^{2x}<3 e f'(x)<0 (função decrescente à esquerda do ponto crítico);
  • se x>\ln\sqrt{3} então e^{2x}>3 e f'(x)>0 (função crescente à direita do ponto crítico).
    Isso confirma que em x=\ln\sqrt{3} a função passa de decrescente para crescente — comportamento típico de um mínimo.

Passo 6

Para concluir que não existe ponto de máximo global, verifico os limites nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\big(e^{x}+3e^{-x}\big)=+\infty,
pois e^{x}\to+\infty domina. E
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\big(e^{x}+3e^{-x}\big)=+\infty,
pois e^{-x}\to+\infty quando x\to-\infty. Ou seja, f(x)\to+\infty em ambas as pontas, então a função não é limitada superiormente e não tem máximo global. Como já vimos que há exatamente um ponto crítico e que ele é um mínimo estrito, esse é também o mínimo global.
Podemos calcular o valor mínimo: em x=\ln\sqrt{3},
f\big(\ln\sqrt{3}\big)=e^{\ln\sqrt{3}}+3e^{-\ln\sqrt{3}}=\sqrt{3}+3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.

Passo 7

Resumo lógico (sem repetir a resposta final em uma palavra): há exatamente um ponto crítico x=\ln\sqrt{3}; a segunda derivada é positiva em toda a reta, logo esse ponto é mínimo estrito; a função tende a +\infty quando x\to\pm\infty, logo não há ponto de máximo. Assim, a afirmação dada no enunciado corresponde ao comportamento real da função.

Resposta

Verdadeira

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