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não tem ponto de máximo e
é seu único ponto de mínimo. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique (corretamente) a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para todos os
. A afirmação a avaliar é: "
não tem ponto de máximo e
é seu único ponto de mínimo."
O que devemos mostrar (lista clara):
O que devemos mostrar (lista clara):
- encontrar todos os pontos críticos de
(onde ou não existe); - decidir se esses pontos são mínimo, máximo ou nenhum dos dois;
- verificar se existe ponto de máximo global;
- verificar unicidade do mínimo em
.
Passo 2
Vou calcular a derivada
explicando passo a passo as regras usadas. Lembre que:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é (regra da cadeia: derivada do expoente é ).
Aplicando isso em cada termo:
Portanto,
Passo 3
Agora achamos os pontos críticos resolvendo
. Parto de
Multiplico ambos os lados por
(que é sempre positivo, então não muda soluções):
Logo
Tomando logaritmo natural,
Como a exponencial é injetora, essa é a única solução — ou seja, há exatamente um ponto crítico:
.
Passo 4
Calculo a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada e também para estudar convexidade:
Observação importante: para todo
temos
e
, então
Significado prático:
implica que
é estritamente convexa (curvatura voltada para cima) em toda a reta, e que qualquer ponto crítico é um mínimo estrito.
Passo 5
Pelo teste da segunda derivada, no ponto crítico
temos
, portanto esse ponto é um mínimo estrito. Como existe exatamente um ponto crítico, esse é o único ponto onde
se anula e, por ser estritamente convexa, não pode haver outro mínimo local nem máximo local.
Também podemos analisar o sinal de
para ver monotonicidade: escrevendo
como
sempre, o sinal de
é o sinal de
. Portanto:
- se
então e (função decrescente à esquerda do ponto crítico); - se
então e (função crescente à direita do ponto crítico).
Isso confirma que ema função passa de decrescente para crescente — comportamento típico de um mínimo.
Passo 6
Para concluir que não existe ponto de máximo global, verifico os limites nas extremidades:
pois
domina. E
pois
quando
. Ou seja,
em ambas as pontas, então a função não é limitada superiormente e não tem máximo global. Como já vimos que há exatamente um ponto crítico e que ele é um mínimo estrito, esse é também o mínimo global.
Podemos calcular o valor mínimo: em
,
Passo 7
Resumo lógico (sem repetir a resposta final em uma palavra): há exatamente um ponto crítico
; a segunda derivada é positiva em toda a reta, logo esse ponto é mínimo estrito; a função tende a
quando
, logo não há ponto de máximo. Assim, a afirmação dada no enunciado corresponde ao comportamento real da função.
Resposta
Verdadeira