Verifique se as integrais abaixo são impróprias. Caso sejam, verifique se convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral
Nós estamos no tema de integrais impróprias em intervalos não limitados. Precisamos (a) identificar se é imprópria e, em caso afirmativo, (b) verificar se converge ou diverge.
Passo 2
A função
é contínua em todo ponto de
, pois
aí. O problema está no limite superior ser infinito, logo é uma integral imprópria do tipo I. Escrevemos
Passo 3
Para avaliar
, encontramos uma primitiva de
. Usando a regra de potência:
Passo 4
Substituímos os limites na primitiva e depois tomamos
:
Quando
, o termo
tende a zero, sobrando
Passo 5
O limite existe e é finito, portanto a integral, embora imprópria, converge.
Resposta
A integral é imprópria (limite superior infinito) e converge, com valor