Verifique se as integrais abaixo são impróprias. Caso sejam, verifique se convergem ou divergem.
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx
Nós estamos no tema de integrais impróprias em intervalos não limitados. Precisamos (a) identificar se é imprópria e, em caso afirmativo, (b) verificar se converge ou diverge.

Passo 2

A função f(x)=1/(x-1)^{3} é contínua em todo ponto de [2,\infty), pois x-1\neq0 aí. O problema está no limite superior ser infinito, logo é uma integral imprópria do tipo I. Escrevemos
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx.

Passo 3

Para avaliar \int_{2}^{b}(x-1)^{-3}dx, encontramos uma primitiva de f(x). Usando a regra de potência:
\int (x-1)^{-3}dx =\frac{(x-1)^{-2}}{-2}+C =-\frac{1}{2(x-1)^{2}}+C.

Passo 4

Substituímos os limites na primitiva e depois tomamos b\to\infty:
\int_{2}^{b}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx =\left[-\frac{1}{2(x-1)^{2}}\right]_{2}^{b} =-\frac{1}{2(b-1)^{2}} +\frac{1}{2(2-1)^{2}}.
Quando b\to\infty, o termo \frac{1}{2(b-1)^{2}} tende a zero, sobrando
\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx =\frac{1}{2}.

Passo 5

O limite existe e é finito, portanto a integral, embora imprópria, converge.

Resposta

A integral é imprópria (limite superior infinito) e converge, com valor
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx=\frac{1}{2}.

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