Verifique se as integrais abaixo são impróprias. Caso sejam, verifique se convergem ou divergem.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{2} x\right)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}}\,dx
é imprópria e, em caso afirmativo, decidir se converge ou diverge. O conteúdo aqui é integrales impróprias de segunda espécie, quando o integrando fica singular em um ponto interior ou na fronteira do intervalo de integração.

Passo 2

Identificamos os possíveis pontos problemáticos no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]. O denominador \bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2} anula-se em x=\tfrac{\pi}{2}, gerando singularidade. Em x=0 o integrando é
\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{2}(0)}{(0-\tfrac{\pi}{2})^{2}}=0,
portanto não há problema em x=0.

Passo 3

Como o integrando explode em x=\tfrac{\pi}{2}, chamamos a integral de imprópria do tipo II. Devemos estudar
\lim_{\varepsilon\to0^{+}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 4

Para entender o comportamento próximo de x=\tfrac{\pi}{2}, fazemos a mudança
t = \frac{\pi}{2}-x,
de modo que x\to\tfrac{\pi}{2}^{-} corresponde a t\to0^{+}. A integral na vizinhança vira
\int_{x=\frac{\pi}{2}-\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{(x-\tfrac{\pi}{2})^{2}}\,dx = \int_{t=\varepsilon}^{0} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}(\tfrac{\pi}{2}-t)\bigr)}{(-t)^{2}}\,(-dt) = \int_{0}^{\varepsilon} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\tfrac{\pi}{2}t\bigr)}{t^{2}}\,dt.

Passo 5

Observe que
\lim_{t\to0^{+}} \operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\tfrac{\pi}{2}t\bigr) =\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}\bigr) \neq 0
pois \tfrac{\pi^{2}}{4\pi}=\tfrac{\pi}{4} não é inteiro. Logo, para t pequeno a função se comporta como
\frac{\operatorname{sen}^{2}(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\tfrac{\pi}{2}t)}{t^{2}} \sim \frac{\operatorname{sen}^{2}(\tfrac{\pi^{2}}{4})}{t^{2}}.

Passo 6

Comparando com a integral p-tipo
\int_{0}^{\varepsilon}\frac{dt}{t^{2}},
que sabemos divergir (porque p=2\ge1), concluímos que
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}}\,dx
é imprópria em x=\tfrac{\pi}{2} e diverge, já que a singularidade é demasiado forte.

Resposta

A integral é imprópria em x=\tfrac{\pi}{2} e diverge.

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