Verifique se as integrais abaixo são impróprias. Caso sejam, verifique se convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral
é imprópria e, em caso afirmativo, decidir se converge ou diverge. O conteúdo aqui é integrales impróprias de segunda espécie, quando o integrando fica singular em um ponto interior ou na fronteira do intervalo de integração.
Passo 2
Identificamos os possíveis pontos problemáticos no intervalo
. O denominador
anula-se em
, gerando singularidade. Em
o integrando é
,
portanto não há problema em .
portanto não há problema em
Passo 3
Como o integrando explode em
, chamamos a integral de imprópria do tipo II. Devemos estudar
Passo 4
Para entender o comportamento próximo de
, fazemos a mudança
de modo que
corresponde a
. A integral na vizinhança vira
Passo 5
Observe que
pois
não é inteiro. Logo, para
pequeno a função se comporta como
Passo 6
Comparando com a integral p-tipo
que sabemos divergir (porque
), concluímos que
é imprópria em
e diverge, já que a singularidade é demasiado forte.
Resposta
A integral é imprópria em
e diverge.