QUESTÃO 2 ( 1,0 ponto) Ara 50^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm escoa sobre uma placa plana de largura \mathrm{b}=0,5 \mathrm{~cm} a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. a) Qual é a espessura da camada limite a uma distância de 0,2 \mathrm{~m} medida a partir do bordo de ataque? b) Força de arrasto média para os primeiros 0,2 m da placa c ) a velocidade na direção xem \mathrm{x}=0,2 \mathrm{~m} e \mathrm{y}=\delta / 2. Dados: \rho_{\mathrm{ar}}=1,092 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3, \mu_{\mathrm{ar}}=1,95 \times 10-5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento laminar de ar sobre uma placa plana a \,U_\infty=20\rm\\ m/s. A placa tem comprimento de interesse L=0,2\rm\\ m no sentido do escoamento e largura (espalhamento, z) b=0,5\rm\\ cm. Pede-se:
a) a espessura da camada limite \delta em x=0,2\rm\\ m;
b) a força de arrasto total D para 0\le x\le0,2\rm\\ m;
c) a velocidade u no ponto (x,y)=(0,2\,\mathrm{m},\delta/2).
Para resolver usamos:
  • perfil de Blasius para escoamento laminar sobre placa (camada limite),
  • fórmulas aproximadas \delta\approx5\sqrt{\nu x/U_\infty},
  • coeficiente local de atrito \displaystyle C_{f,x}=0{,}332/\sqrt{\mathrm{Re}_x} e médio \displaystyle C_{f,L}=1{,}328/\sqrt{\mathrm{Re}_L},
  • perfil de velocidade \,u/U_\infty=f'(\eta) com \eta=y\sqrt{U_\infty/(\nu x)}.

Passo 2

Calcular primeiro a viscosidade cinemática e o número de Reynolds em x=0,2\rm\\ m:
\nu=\frac{\mu}{\rho} =\frac{1{,}95\times10^{-5}}{1{,}092} =1{,}786\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty\,x}{\nu} =\frac{20\cdot0{,}2}{1{,}786\times10^{-5}} \approx2{,}24\times10^{5}.
Para escoamento laminar em placa plana usa-se
\delta(x)\approx5\sqrt{\frac{\nu\,x}{U_\infty}} =5\sqrt{\frac{1{,}786\times10^{-5}\cdot0{,}2}{20}} =5\sqrt{1{,}786\times10^{-7}} \approx2{,}11\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O coeficiente médio de atrito de pele até x=L é
C_{f,L}=\frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}} =\frac{1{,}328}{\sqrt{2{,}24\times10^{5}}} \approx2{,}806\times10^{-3}.
A força de arrasto total em 0\le x\le L vale
D =C_{f,L}\,\Bigl(\tfrac12\,\rho\,U_\infty^2\Bigr)\,(L\,b).
Substituindo valores:
D =2{,}806\times10^{-3}\times\frac12\times1{,}092\times20^2 \times(0{,}2\times0{,}005) \approx6{,}12\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Para o perfil de Blasius definimos
\eta =y\sqrt{\frac{U_\infty}{\nu\,x}}.
No ponto \;y=\delta/2=1{,}055\times10^{-3}\rm\\ m; e \;x=0{,}2\rm\\ m,
\eta =\;1{,}055\times10^{-3} \sqrt{\frac{20}{1{,}786\times10^{-5}\cdot0{,}2}} \approx2{,}5.
Do perfil de Blasius temos tabela de f'(\eta); para \eta=2{,}5,
\frac{u}{U_\infty} =f'(2{,}5)\approx0{,}983,
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u \approx0{,}983\times20 \approx19{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) \displaystyle\delta(0{,}2\rm\\ m)\approx2{,}11\times10^{-3}\rm\\ m.
b) D\approx6{,}12\times10^{-4}\rm\\ N.
c) u(x=0{,}2\rm\\ m,\;y=\delta/2)\approx19{,}7\rm\\ m/s.

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