Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
\int_{-3}^{3}-x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar, sem calcular a integral, se o valor de
\int_{-3}^{3}-x^{2}\,dx
é positivo, negativo ou zero.
Informações dadas: a função integranda é -x^{2} e o intervalo de integração é [-3,3]. O enunciado exige apenas analisar o sinal do valor da integral, não o seu valor numérico.

Passo 2

Observe a propriedade básica dos quadrados: para todo x real temos
x^{2}\ge 0.
Isto porque o produto de um número por ele mesmo não pode ser negativo. Portanto, ao multiplicarmos por -1 obtemos
-x^{2}\le 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Note também onde ocorre igualdade: x^{2}=0 somente quando x=0. Assim
-x^{2}=0\iff x=0,
e para qualquer x\neq 0 temos -x^{2}<0.

Passo 4

Vou usar um fato intuitivo e útil sobre integrais definidas (posso enunciar sem provar formalmente): se f é contínua em [a,b] e f(x)\le 0 para todo x\in[a,b], e além disso f é estritamente negativa em alguma parte do intervalo com comprimento positivo, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx < 0.
A ideia por trás disso é que a integral é a “área assinada” sob a curva: partes abaixo do eixo x contribuem negativamente, e se há uma região com área não-nula abaixo do eixo o total será negativo.

Passo 5

Aplicando esse fato ao nosso caso: a função f(x)=-x^{2} é contínua em [-3,3], satisfaz f(x)\le 0 em todo o intervalo e é estritamente negativa em (-3,0)\cup(0,3), que tem comprimento positivo. Logo a integral sobre [-3,3] é estritamente negativa:
\int_{-3}^{3}-x^{2}\,dx < 0.

Passo 6

Como alternativa (apenas para intuição), podemos usar simetria: -x^{2} é uma função par, então
\int_{-3}^{3}-x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{3}-x^{2}\,dx = -2\int_{0}^{3}x^{2}\,dx,
e como \int_{0}^{3}x^{2}\,dx>0 segue que o resultado é negativo. Observe que aqui não foi necessário calcular a integral, só usar o fato de que \int_{0}^{3}x^{2}\,dx é positivo.

Resposta

negativo

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