Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
Passo 1
O enunciado pede para verificar, sem calcular a integral, se o valor de
é positivo, negativo ou zero.
Informações dadas: a função integranda é e o intervalo de integração é
. O enunciado exige apenas analisar o sinal do valor da integral, não o seu valor numérico.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Observe a propriedade básica dos quadrados: para todo
real temos
Isto porque o produto de um número por ele mesmo não pode ser negativo. Portanto, ao multiplicarmos por
obtemos
Passo 3
Note também onde ocorre igualdade:
somente quando
. Assim
e para qualquer
temos
.
Passo 4
Vou usar um fato intuitivo e útil sobre integrais definidas (posso enunciar sem provar formalmente): se
é contínua em
e
para todo
, e além disso
é estritamente negativa em alguma parte do intervalo com comprimento positivo, então
A ideia por trás disso é que a integral é a “área assinada” sob a curva: partes abaixo do eixo
contribuem negativamente, e se há uma região com área não-nula abaixo do eixo o total será negativo.
Passo 5
Aplicando esse fato ao nosso caso: a função
é contínua em
, satisfaz
em todo o intervalo e é estritamente negativa em
, que tem comprimento positivo. Logo a integral sobre
é estritamente negativa:
Passo 6
Como alternativa (apenas para intuição), podemos usar simetria:
é uma função par, então
e como
segue que o resultado é negativo. Observe que aqui não foi necessário calcular a integral, só usar o fato de que
é positivo.
Resposta
negativo