Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. \int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações dadas: o integrando é a função \,f(y)=y e^{-3y}\, definida para y\ge2.
Objetivos claros:
Mostrar convergência ou divergência da integral impropria \int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy.
Calcular o valor dessa integral caso seja convergente.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar: a integral com limite infinito é o limite de integrais próprias
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy := \lim_{R\to\infty} \int_{2}^{R} y e^{-3 y}\, dy.
Portanto a tarefa é calcular a primitiva de y e^{-3y}, avaliar entre 2 e R e depois calcular o limite quando R\to\infty. Para obter a primitiva usamos a técnica de integração por partes.
Passo 3
Recordando a fórmula de integração por partes: para funções u(y) e v'(y),
Resumo didático curto (truque para a prova): quando tiver um polinômio vezes exponencial decrescente y^n e^{-a y} com a>0, a exponencial vence o polinômio e a integral no infinito geralmente converge; calcule a primitiva por partes (repetindo se necessário) ou reconheça a relação com a função gama. Neste caso um único uso de integração por partes foi suficiente.