Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy
é convergente e, se for, calcular seu valor.
Informações dadas: o integrando é a função \,f(y)=y e^{-3y}\, definida para y\ge2.
Objetivos claros:
  • Mostrar convergência ou divergência da integral impropria \int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy.
  • Calcular o valor dessa integral caso seja convergente.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar: a integral com limite infinito é o limite de integrais próprias
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y}\, dy := \lim_{R\to\infty} \int_{2}^{R} y e^{-3 y}\, dy.
Portanto a tarefa é calcular a primitiva de y e^{-3y}, avaliar entre 2 e R e depois calcular o limite quando R\to\infty. Para obter a primitiva usamos a técnica de integração por partes.

Passo 3

Recordando a fórmula de integração por partes: para funções u(y) e v'(y),
\int u(y)\, v'(y)\, dy = u(y)v(y) - \int v(y)\, u'(y)\, dy,
onde v(y) é uma primitiva de v'(y) e u'(y) é a derivada de u(y).
Escolhemos
u(y)=y,\qquad v'(y)=e^{-3y}.
Então
u'(y)=1,\qquad v(y)=\int e^{-3y}\,dy = -\frac{1}{3}e^{-3y}.
Aplicando integração por partes:
\int y e^{-3y}\,dy = u(y)v(y) - \int v(y)u'(y)\,dy = y\left(-\frac{1}{3}e^{-3y}\right) - \int \left(-\frac{1}{3}e^{-3y}\right)\cdot 1\,dy.
Simplificando:
\int y e^{-3y}\,dy = -\frac{y}{3}e^{-3y} + \frac{1}{3}\int e^{-3y}\,dy.
Calcule a última integral:
\int e^{-3y}\,dy = -\frac{1}{3}e^{-3y},
logo
\int y e^{-3y}\,dy = -\frac{y}{3}e^{-3y} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}e^{-3y}\right) + C.
Agrupando termos:
\int y e^{-3y}\,dy = -e^{-3y}\left(\frac{y}{3}+\frac{1}{9}\right) + C = -\frac{e^{-3y}}{9}\,(3y+1) + C.
Assim uma primitiva é
F(y) = -\frac{e^{-3y}}{9}\,(3y+1).

Passo 4

Agora calcule a integral própria entre 2 e R:
\int_{2}^{R} y e^{-3y}\,dy = F(R)-F(2) = -\frac{e^{-3R}}{9}\,(3R+1) \;-\; \left(-\frac{e^{-6}}{9}\,(3\cdot 2+1)\right).
Simplificando o termo em y=2:
3\cdot 2+1 = 7, \qquad F(2) = -\frac{7}{9} e^{-6}.
Logo
\int_{2}^{R} y e^{-3y}\,dy = -\frac{e^{-3R}}{9}\,(3R+1) + \frac{7}{9} e^{-6}.

Passo 5

Para finalizar precisamos tomar o limite quando R\to\infty. Avaliamos
\lim_{R\to\infty} -\frac{e^{-3R}}{9}\,(3R+1).
Mostramos que esse limite é 0. Observe que
\left|\frac{e^{-3R}}{9}\,(3R+1)\right| = \frac{3R+1}{9}\,e^{-3R}.
Um modo padrão de ver que R e^{-3R}\to 0 quando R\to\infty é usar L’Hôpital na forma
\lim_{R\to\infty} \frac{R}{e^{3R}} = \lim_{R\to\infty} \frac{1}{3e^{3R}} = 0.
Portanto \lim_{R\to\infty} R e^{-3R}=0 e também \lim_{R\to\infty} e^{-3R}=0, então
\lim_{R\to\infty} -\frac{e^{-3R}}{9}\,(3R+1) = 0.
Assim o limite da integral própria existe e é finito; a integral imprópria converge.
Substituindo o limite na expressão do Passo 4:
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y}\,dy = 0 + \frac{7}{9} e^{-6} = \frac{7}{9} e^{-6}.

Passo 6

Resumo didático curto (truque para a prova): quando tiver um polinômio vezes exponencial decrescente y^n e^{-a y} com a>0, a exponencial vence o polinômio e a integral no infinito geralmente converge; calcule a primitiva por partes (repetindo se necessário) ou reconheça a relação com a função gama. Neste caso um único uso de integração por partes foi suficiente.

Resposta

\dfrac{7}{9}e^{-6}

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