Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. \int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4} d z
Passo 1
O enunciado pede para verificar convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4}\,dz.
Informações dadas e observações iniciais:
A integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
A função integranda é f(z)=\dfrac{z}{z^{4}+4}.
f está bem definida para todo z\in\mathbb{R} (pois z^{4}+4>0 para todo z real) — logo não há singularidade em pontos finitos, apenas a impropriedade por infinito.
O problema pede duas coisas: (i) dizer se a integral converge; (ii) quando convergir, calcular seu valor numérico.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar. A integral pedida é definida como limite:
Para mostrar convergência, preciso verificar que esse limite existe finito. Vou estudar o comportamento de f(z) em duas regiões relevantes: perto de 0 (região finita) e quando z\to-\infty (infinito).
Passo 3
Comportamento e comparação para testar convergência.
Perto de 0: como z\to0,
\frac{z}{z^{4}+4}\sim\frac{z}{4},
ou seja, a função é limitada e integrável em qualquer intervalo finito que contenha 0. Não há problema em 0.
Quando |z| é grande (especialmente z\to-\infty): para |z|\ge 1,
converge (é uma p-integral com p=3>1), por comparação a integral imprópria \int_{-\infty}^{-1}\left|\dfrac{z}{z^{4}+4}\right|dz converge. Portanto a integral dada converge absolutamente (e logo converge) no infinito.
Passo 4
Cálculo da integral através de substituição. Vamos calcular
I=\int_{-\infty}^{0}\frac{z}{z^{4}+4}\,dz.
Faça a substituição t=z^{2}. Então dt=2z\,dz, ou seja z\,dz=\dfrac{dt}{2}. Quando z varia de A até 0 (com A\to-\infty), t varia de A^{2} até 0 (e A^{2}\to\infty). Assim
Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivador). A integral converge absolutamente e o valor calculado, obtido por uma substituição simples e o uso da primitiva arcotangente, é -\dfrac{\pi}{8}. Mandou bem por estar até aqui — relaxa que uma substituição e o teste de comparação resolvem esse tipo de integral na prova.