Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4} d z

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4}\,dz.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{z}{z^{4}+4}.
  • f está bem definida para todo z\in\mathbb{R} (pois z^{4}+4>0 para todo z real) — logo não há singularidade em pontos finitos, apenas a impropriedade por infinito.
  • O problema pede duas coisas: (i) dizer se a integral converge; (ii) quando convergir, calcular seu valor numérico.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar. A integral pedida é definida como limite:
\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4}\,dz=\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{0}\frac{z}{z^{4}+4}\,dz.
Para mostrar convergência, preciso verificar que esse limite existe finito. Vou estudar o comportamento de f(z) em duas regiões relevantes: perto de 0 (região finita) e quando z\to-\infty (infinito).

Passo 3

Comportamento e comparação para testar convergência.
  • Perto de 0: como z\to0,
\frac{z}{z^{4}+4}\sim\frac{z}{4},
ou seja, a função é limitada e integrável em qualquer intervalo finito que contenha 0. Não há problema em 0.
  • Quando |z| é grande (especialmente z\to-\infty): para |z|\ge 1,
\left|\frac{z}{z^{4}+4}\right|\le \frac{|z|}{z^{4}}=\frac{1}{|z|^{3}}.
Como a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx
converge (é uma p-integral com p=3>1), por comparação a integral imprópria \int_{-\infty}^{-1}\left|\dfrac{z}{z^{4}+4}\right|dz converge. Portanto a integral dada converge absolutamente (e logo converge) no infinito.

Passo 4

Cálculo da integral através de substituição. Vamos calcular
I=\int_{-\infty}^{0}\frac{z}{z^{4}+4}\,dz.
Faça a substituição t=z^{2}. Então dt=2z\,dz, ou seja z\,dz=\dfrac{dt}{2}. Quando z varia de A até 0 (com A\to-\infty), t varia de A^{2} até 0 (e A^{2}\to\infty). Assim
I=\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{0}\frac{z}{z^{4}+4}\,dz =\frac{1}{2}\lim_{A\to-\infty}\int_{A^{2}}^{0}\frac{dt}{t^{2}+4}.
Invertendo os limites para ficar do menor para o maior:
I=-\frac{1}{2}\lim_{B\to\infty}\int_{0}^{B}\frac{dt}{t^{2}+4},
onde B=A^{2}.

Passo 5

Avaliar a integral padrão. Lembrando a primitiva
\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right),
com a=2 obtemos
\int_{0}^{B}\frac{dt}{t^{2}+4}=\left.\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right)\right|_{0}^{B}=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{B}{2}\right).
Tomando B\to\infty \arctan(B/2)\to\pi/2. Logo
I=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{8}.

Passo 6

Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivador). A integral converge absolutamente e o valor calculado, obtido por uma substituição simples e o uso da primitiva arcotangente, é -\dfrac{\pi}{8}. Mandou bem por estar até aqui — relaxa que uma substituição e o teste de comparação resolvem esse tipo de integral na prova.

Resposta

-\dfrac{\pi}{8}

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