Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx
é convergente e, se possível, calcular seu valor. As informações dadas são:
  • O integrando é \dfrac{\ln x}{x}.
  • O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, temos uma integral imprópria porque o limite superior é infinito.
  • Não há singularidade no ponto x=1 (já que \ln 1=0), portanto a impropriedade vem apenas do infinito no extremo superior.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria com limite infinito: a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx
é definida como o limite
\lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{\ln x}{x}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge. Então o que faremos é calcular a integral indefinida e depois tomar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \dfrac{\ln x}{x}. Uma substituição natural é t=\ln x. Vamos explicar direitinho:
  • Defina t=\ln x. Então dt=\dfrac{1}{x}\,dx, isto é, \dfrac{dx}{x}=dt.
  • Reescrevendo o integrando: \dfrac{\ln x}{x}\,dx = t\cdot \dfrac{dx}{x} = t\,dt.
Portanto, a integral definida de 1 a b transforma-se em
\int_{1}^{b} \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_{t(1)}^{t(b)} t\,dt.
Como t=\ln x, os limites em t são t(1)=\ln 1=0 e t(b)=\ln b. Logo
\int_{1}^{b} \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_{0}^{\ln b} t\,dt.

Passo 4

Calcular a integral em t:
\int_{0}^{\ln b} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{\ln b} = \frac{(\ln b)^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{(\ln b)^{2}}{2}.
Portanto a integral original até b é \dfrac{(\ln b)^{2}}{2}. A integral imprópria é o limite desse valor quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} \frac{(\ln b)^{2}}{2}.

Passo 5

Analisar o limite:
  • Sabemos que \ln b \to \infty quando b\to\infty.
  • Logo (\ln b)^{2}\to\infty e, consequentemente,
\lim_{b\to\infty} \frac{(\ln b)^{2}}{2} = +\infty.
Isso mostra que o limite não é finito: a integral imprópria diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.

Passo 6

Comentário extra (útil para prova): há também um teste de comparação simples que dá a mesma conclusão. Para x\ge e vale \ln x\ge 1, então para x\ge e
\frac{\ln x}{x}\ge \frac{1}{x}.
Como \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx diverge (é a integral harmônica com limite infinito), pela comparação com função positiva se conclui que \int_{e}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx também diverge. Isso reforça o resultado obtido pela substituição.

Passo 7

Conclusão final e dica: a integral imprópria não converge porque a primitiva leva a um termo \tfrac{1}{2}(\ln b)^{2} que cresce sem limite quando b\to\infty. Em prova, a substituição t=\ln x é um caminho rápido e seguro; a comparação com \dfrac{1}{x} é um argumento alternativo curto.

Resposta

A integral diverge, mais precisamente \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx = +\infty.

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