Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge. Então o que faremos é calcular a integral indefinida e depois tomar o limite quando b\to\infty.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de \dfrac{\ln x}{x}. Uma substituição natural é t=\ln x. Vamos explicar direitinho:
Defina t=\ln x. Então dt=\dfrac{1}{x}\,dx, isto é, \dfrac{dx}{x}=dt.
Reescrevendo o integrando: \dfrac{\ln x}{x}\,dx = t\cdot \dfrac{dx}{x} = t\,dt.
Portanto, a integral definida de 1 a b transforma-se em
Isso mostra que o limite não é finito: a integral imprópria diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.
Passo 6
Comentário extra (útil para prova): há também um teste de comparação simples que dá a mesma conclusão. Para x\ge e vale \ln x\ge 1, então para x\ge e
\frac{\ln x}{x}\ge \frac{1}{x}.
Como \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx diverge (é a integral harmônica com limite infinito), pela comparação com função positiva se conclui que \int_{e}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx também diverge. Isso reforça o resultado obtido pela substituição.
Passo 7
Conclusão final e dica: a integral imprópria não converge porque a primitiva leva a um termo \tfrac{1}{2}(\ln b)^{2} que cresce sem limite quando b\to\infty. Em prova, a substituição t=\ln x é um caminho rápido e seguro; a comparação com \dfrac{1}{x} é um argumento alternativo curto.
Resposta
A integral diverge, mais precisamente \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx = +\infty.