Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{\infty} \frac{x \sqrt{x}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5 \ln x} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x\sqrt{x}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}\,dx
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), portanto a impropriedade vem do limite superior infinito.
  • A função integranda é \dfrac{x\sqrt{x}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}.
  • Note que x\sqrt{x}=x^{3/2} para todo x\ge1.
  • O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da integral imprópria.

Passo 2

Estratégia escolhida: testar convergência absoluta por comparação com funções-padrão do tipo x^{-p}. Se a integral da função em valor absoluto for convergente, então a integral original converge (convergência absoluta implica convergência). Vou construir uma desigualdade simples para |\text{integrando}| válida para x\ge1.
Explicando o teste de comparação que vou usar (aula curta):
  • Teste de comparação direta para integrais impróprias: se 0\le g(x)\le h(x) em [a,\infty) e \int_a^\infty h(x)\,dx converge, então \int_a^\infty g(x)\,dx também converge.
  • Para valor absoluto: se \int_a^\infty |f(x)|\,dx converge, chamamos f de absolutamente integrável; isto garante que \int_a^\infty f(x)\,dx converge.

Passo 3

Preparar desigualdades para x\ge1.
  1. Como x\ge1 implica \ln x\ge0, tem-se
x^{3}+5\ln x \ge x^{3}.
  1. Para o numerador,
|x^{3/2}+\operatorname{sen}x|\le x^{3/2}+|\operatorname{sen}x|\le x^{3/2}+1,
pois |\operatorname{sen}x|\le1.
Juntando as duas desigualdades, para x\ge1,
\left|\frac{x^{3/2}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}\right| \le \frac{x^{3/2}+1}{x^{3}}.

Passo 4

Simplificar a função de comparação:
\frac{x^{3/2}+1}{x^{3}} = x^{-3/2}+x^{-3}.
Portanto, para x\ge1,
\left|\frac{x^{3/2}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}\right| \le x^{-3/2}+x^{-3}.

Passo 5

Verificar que as integrais das funções do lado direito convergem (isso mostrará convergência absoluta).
Calcular \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx:
\int x^{-3/2}\,dx = \int x^{-1{,}5}\,dx = \left[\frac{x^{-1/2}}{-1/2}\right] = \left[-2x^{-1/2}\right].
Logo
\int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = \lim_{R\to\infty} \big(-2R^{-1/2} + 2\big) = 2 < \infty.
Calcular \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx:
\int x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2}x^{-2}\right],
logo
\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx = \lim_{R\to\infty} \left(-\frac{1}{2}R^{-2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} < \infty.

Passo 6

Conclusão a partir do teste de comparação:
  • A soma das duas integrais de comparação é finita:
\int_{1}^{\infty} \big(x^{-3/2}+x^{-3}\big)\,dx = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
  • Como para x\ge1 vale |\text{integrando}|\le x^{-3/2}+x^{-3} e a integral do lado direito converge, segue por comparação que
\int_{1}^{\infty} \left|\frac{x^{3/2}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}\right| dx
converge. Assim, a integral dada converge absolutamente.

Passo 7

Interpretação final (motivação para a prova): a ideia-chave é ver que o termo dominante no numerador é x^{3/2} e no denominador é x^{3}, logo o integrando se comporta como x^{-3/2} quando x\to\infty. Como \int_1^\infty x^{-p}\,dx converge para p>1 (a regra-p básica), isso já dá forte indicação de convergência; a comparação rigorosa que fiz confirma e garante convergência absoluta.

Resposta

A integral converge (convergência absoluta).

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