Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes. \int_{1}^{\infty} \frac{x \sqrt{x}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5 \ln x} d x
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
O intervalo de integração é [1,\infty), portanto a impropriedade vem do limite superior infinito.
A função integranda é \dfrac{x\sqrt{x}+\operatorname{sen} x}{x^{3}+5\ln x}.
Note que x\sqrt{x}=x^{3/2} para todo x\ge1.
O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da integral imprópria.
Passo 2
Estratégia escolhida: testar convergência absoluta por comparação com funções-padrão do tipo x^{-p}. Se a integral da função em valor absoluto for convergente, então a integral original converge (convergência absoluta implica convergência). Vou construir uma desigualdade simples para |\text{integrando}| válida para x\ge1.
Explicando o teste de comparação que vou usar (aula curta):
Teste de comparação direta para integrais impróprias: se 0\le g(x)\le h(x) em [a,\infty) e \int_a^\infty h(x)\,dx converge, então \int_a^\infty g(x)\,dx também converge.
Para valor absoluto: se \int_a^\infty |f(x)|\,dx converge, chamamos f de absolutamente integrável; isto garante que \int_a^\infty f(x)\,dx converge.
converge. Assim, a integral dada converge absolutamente.
Passo 7
Interpretação final (motivação para a prova): a ideia-chave é ver que o termo dominante no numerador é x^{3/2} e no denominador é x^{3}, logo o integrando se comporta como x^{-3/2} quando x\to\infty. Como \int_1^\infty x^{-p}\,dx converge para p>1 (a regra-p básica), isso já dá forte indicação de convergência; a comparação rigorosa que fiz confirma e garante convergência absoluta.