Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é \cos\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • O intervalo de integração é todo o eixo real, (-\infty,+\infty), portanto a integral é imprópria por causa dos limites infinitos.
  • A questão é decidir convergência (e, se for convergente, comentar sobre convergência absoluta ou condicional e, se possível, dar o valor).

Passo 2

Reduzir a integral usando simetria da função. Note que \cos\!\bigl(x^{2}\bigr) é função par porque
\cos\!\bigl((-x)^{2}\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).
Logo
\int_{-\infty}^{+\infty} \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =2\int_{0}^{+\infty} \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Assim basta estudar a convergência de \int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx. Esta é imprópria apenas pelo limite em +\infty (no ponto 0 a integranda é contínua), então vamos analisar o comportamento no infinito.

Passo 3

Mostro que \int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx converge (convergência condicional) usando a substituição u=x^{2}. Seja u=x^{2}, então du=2x\,dx e dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}. Com isso,
\int_{0}^{R}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{R^{2}}\cos u\cdot\dfrac{du}{2\sqrt{u}} =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}} u^{-1/2}\cos u\,du.
Para estudar o limite R\to+\infty olhamos para a integral imprópria
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} u^{-1/2}\cos u\,du.
Aplicamos aqui um teste bem útil (teste de Dirichlet para integrais impróprias): se F(U)=\int_{0}^{U}\cos u\,du é limitada para todo U e g(u) é monotona decrescente com \lim_{u\to\infty}g(u)=0, então \int_{0}^{\infty} g(u)\cos u\,du converge. No nosso caso:
  • F(U)=\int_{0}^{U}\cos u\,du=\sin U, que é limitada (|sin U| ≤ 1).
  • g(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} é monotona decrescente para u>0 e \lim_{u\to\infty}g(u)=0.
    Pelo teste de Dirichlet, a integral \tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} u^{-1/2}\cos u\,du converge. O trecho de 0 a 1 também é integrável porque \cos(x^{2}) é contínua em [0,1] (ou, visto pela substituição, \int_{0}^{1}u^{-1/2}\cos u\,du converge porque u^{-1/2} é integrável próximo de 0). Portanto
\int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
converge. Consequentemente, a integral sobre todo o eixo real converge.
Comentário amigável: a oscilação cada vez mais rápida de \cos(x^{2}) faz as contribuições positivas e negativas cancelarem, e o fator efetivo u^{-1/2} (aparecendo após a substituição) vai a zero, garantindo a convergência do tipo de Dirichlet.

Passo 4

Verificação da convergência absoluta (para ver se a convergência é condicional ou absoluta). Consideramos
\int_{0}^{+\infty}\bigl|\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\bigr|\,dx.
Fazendo a mesma substituição u=x^{2} obtemos, para a cauda,
\int_{1}^{+\infty}\bigl|\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\bigr|\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{1}^{+\infty} u^{-1/2}\bigl|\cos u\bigr|\,du.
Agora separamos a integral em blocos de comprimento \pi (período de |\cos u| é \pi em módulo):
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{+\infty} u^{-1/2}\bigl|\cos u\bigr|\,du \ge \tfrac{1}{2}\sum_{k=K}^{\infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} u^{-1/2}\bigl|\cos u\bigr|\,du,
para algum K tal que k\pi\ge 1. Em cada intervalo [k\pi,(k+1)\pi] temos u^{-1/2}\ge ((k+1)\pi)^{-1/2}, então
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} u^{-1/2}\bigl|\cos u\bigr|\,du \ge \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigl|\cos u\bigr|\,du.
Mas \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigl|\cos u\bigr|\,du=\int_{0}^{\pi}\bigl|\cos u\bigr|\,du=2. Assim
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{+\infty} u^{-1/2}\bigl|\cos u\bigr|\,du \ge \tfrac{1}{2}\sum_{k=K}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{(k+1)\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum_{k=K}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k+1}}.
A série \sum_{k} (k+1)^{-1/2} diverge (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1). Logo a integral de valor absoluto diverge. Conclusão: a convergência é condicional, não absoluta.

Passo 5

(Cálculo do valor exato, para completar a intuição) Podemos obter o valor exato usando uma fórmula clássica (integral de Fourier de potências): para 0<\mu<1
\int_{0}^{\infty} t^{\mu-1}\cos t\,dt=\Gamma(\mu)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi\mu}{2}\bigr),
onde \Gamma é a função Gamma. Tomando \mu=\tfrac{1}{2} e lembrando que \Gamma(\tfrac{1}{2})=\sqrt{\pi} e \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}\cos u\,du=\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.
Como já vimos,
\int_{0}^{\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}\cos u\,du =\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}=\sqrt{\tfrac{\pi}{8}}.
Portanto, voltando à integral original (duas vezes essa),
\int_{-\infty}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =2\int_{0}^{\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=2\sqrt{\tfrac{\pi}{8}}=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.
Valor numérico aproximado: \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\approx 1{,}253314.

Passo 6

Resumo final e incentivo: a integral converge, mas não absolutamente. A oscilação crescente de \cos(x^{2}) garante cancelamentos suficientes para convergência (teste de Dirichlet após a substituição), enquanto a integral do valor absoluto diverge por comparação com uma série divergente. Boa! Você conseguiu — esta família de integrais (as chamadas integrais de Fresnel) é clássica e aparece bastante.

Resposta

A integral converge condicionalmente e
\int_{-\infty}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.

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