Assim basta estudar a convergência de \int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx. Esta é imprópria apenas pelo limite em +\infty (no ponto 0 a integranda é contínua), então vamos analisar o comportamento no infinito.
Passo 3
Mostro que \int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx converge (convergência condicional) usando a substituição u=x^{2}. Seja u=x^{2}, então du=2x\,dx e dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}. Com isso,
Aplicamos aqui um teste bem útil (teste de Dirichlet para integrais impróprias): se F(U)=\int_{0}^{U}\cos u\,du é limitada para todo U e g(u) é monotona decrescente com \lim_{u\to\infty}g(u)=0, então \int_{0}^{\infty} g(u)\cos u\,du converge. No nosso caso:
F(U)=\int_{0}^{U}\cos u\,du=\sin U, que é limitada (|sin U| ≤ 1).
g(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} é monotona decrescente para u>0 e \lim_{u\to\infty}g(u)=0.
Pelo teste de Dirichlet, a integral \tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} u^{-1/2}\cos u\,du converge. O trecho de 0 a 1 também é integrável porque \cos(x^{2}) é contínua em [0,1] (ou, visto pela substituição, \int_{0}^{1}u^{-1/2}\cos u\,du converge porque u^{-1/2} é integrável próximo de 0). Portanto
\int_{0}^{+\infty}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
converge. Consequentemente, a integral sobre todo o eixo real converge.
Comentário amigável: a oscilação cada vez mais rápida de \cos(x^{2}) faz as contribuições positivas e negativas cancelarem, e o fator efetivo u^{-1/2} (aparecendo após a substituição) vai a zero, garantindo a convergência do tipo de Dirichlet.
Passo 4
Verificação da convergência absoluta (para ver se a convergência é condicional ou absoluta). Consideramos
A série \sum_{k} (k+1)^{-1/2} diverge (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1). Logo a integral de valor absoluto diverge. Conclusão: a convergência é condicional, não absoluta.
Passo 5
(Cálculo do valor exato, para completar a intuição) Podemos obter o valor exato usando uma fórmula clássica (integral de Fourier de potências): para 0<\mu<1
onde \Gamma é a função Gamma. Tomando \mu=\tfrac{1}{2} e lembrando que \Gamma(\tfrac{1}{2})=\sqrt{\pi} e \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
Valor numérico aproximado: \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\approx 1{,}253314.
Passo 6
Resumo final e incentivo: a integral converge, mas não absolutamente. A oscilação crescente de \cos(x^{2}) garante cancelamentos suficientes para convergência (teste de Dirichlet após a substituição), enquanto a integral do valor absoluto diverge por comparação com uma série divergente. Boa! Você conseguiu — esta família de integrais (as chamadas integrais de Fresnel) é clássica e aparece bastante.