Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- O parâmetro é
. - A integral é imprópria porque o intervalo de integração é
(problema no infinito). - Há também atenção à vizinhança de
(integral no canto esquerdo do intervalo), pois integranda é definida ali por continuidade. - O integrando é oscilatório (
de algo), então a convergência, se houver, tende a ser condicional (não necessariamente absoluta).
Passo 2
Fazer uma mudança de variável automática e útil: defina
Então
e
Substituindo na integral original obtemos (a transformação é bijetiva de
para
):
Para simplificar a notação, defina
Então a integral fica
Portanto o problema reduz-se a estudar a convergência de
para
(pois
). Depois converteremos o resultado em termos de
.
Passo 3
Analisar a região perto de
(possível singularidade em
depois da mudança de variável).
Para
vale
. Então o integrando se comporta como
A integral
converge se e somente se
. Como aqui
(porque
), essa condição é satisfeita. Conclusão: não há problema de divergência em
; a possível impropriedade vem apenas do comportamento em
.
Passo 4
Analisar a região
. Vou usar um teste clássico para integrais de funções oscilatórias: o teste de Dirichlet (ou integração por partes). Primeiro enuncio a versão que usarei:
Teste de Dirichlet (versão para integrais): se
é uniformemente limitada (isto é, existe
tal que
para todo
) e
é monotona com
, então
converge.
No nosso caso tome
e
.
- Calcule
. Isso é claramente limitado: para todo . Logo é limitada. - A função
é monótona para grande e satisfaz exatamente quando , isto é, quando .
Pela hipótese do teste de Dirichlet, se
então a integral
converge. Portanto, para
a integral original converge.
Traduzindo em
:
equivale a
, isto é
. Logo para
a integral converge.
Passo 5
Mostrar que para
(equivalente a
) a integral diverge.
Caso
(
). A integral reduz-se a
cujo valor parcial até
é
. Esse limite quando
não existe (oscila), logo a integral diverge.
Caso
(
). Faço integração por partes para ver o comportamento no infinito. Para
e
,
Observe o termo de fronteira
. Quando
temos
quando
, e o fator
oscila entre
e
. Portanto o termo de fronteira não tem limite finito quando
(na verdade seus valores em módulo crescem sem limite). Assim a integral impropriamente considerada não pode convergir (pois uma parte do valor parcial já explode/oscilando com amplitude crescente). Conclusão: para
a integral diverge.
Passo 6
Sobre convergência absoluta: para qualquer
a integral não converge absolutamente. Razão rápida: para
e
grande, em cada intervalo de comprimento
(por exemplo
) tem-se
Mas
é uma constante positiva (igual a
). Portanto a soma das contribuições dos blocos dá algo comparável a
, que diverge para todo
. Como
aqui, a integral de
diverge, isto é, não há convergência absoluta. Então: quando a integral converge (caso
), ela é apenas condicional.
Passo 7
Traduzindo tudo de volta para
(lembre
):
- Convergência da integral ocorre exatamente quando
, isto é, quando . - Divergência ocorre quando
, isto é, quando . - Quando converge (caso
) a convergência é condicional, não absoluta.
Resposta
Converge condicionalmente para
.
Diverge para .
Diverge para