é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função integranda é \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr), definida para todo x\in\mathbb{R}.
O intervalo de integração é toda a reta real, isto é, integral imprópria com limites -\infty e +\infty.
O objetivo é decidir se a integral própria (existente e finita) converge, e se possível dizer se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.
Passo 2
Observação útil: a função \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr) é uma função par, pois
Portanto basta estudar a convergência de \displaystyle\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Passo 3
Fazemos a substituição clássica u=x^{2} para transformar a integral:
Se u=x^{2}, então du=2x\,dx e, para x\ge0, x=\sqrt{u} e dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}.
Aplicando isso à integral truncada \displaystyle\int_{0}^{R}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx obtemos
Verificação na singularidade em u=0. Perto de u=0 temos \operatorname{sen}(u)\sim u (expansão de Taylor), portanto
u^{-1/2}\operatorname{sen}(u)\sim u^{-1/2}\cdot u = u^{1/2}.
Como u^{1/2} é integrável perto de zero (pois \int_{0}^{\epsilon} u^{1/2}\,du é finita), a integral não apresenta problema em 0. Assim o único possível problema vem do comportamento quando u\to\infty.
Passo 5
Análise em u\to\infty usando o teste de Dirichlet para integrais impróprias oscilatórias.
Enunciado do teste de Dirichlet (versão para integrais): se F(u) tem primitiva limitada uniformemente, isto é, existe M tal que \left|\int_{a}^{t} f(s)\,ds\right|\le M para todo t\ge a, e g(u) é uma função monótona que tende a 0 quando u\to\infty, então a integral \int_{a}^{\infty} f(u)g(u)\,du converge.
Aqui escolhemos f(u)=\operatorname{sen}(u) e g(u)=u^{-1/2}.
A primitiva de f é \displaystyle\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u), que é limitada (oscila entre -1 e 1), logo satisfa z o primeiro requisito do teste.
A função g(u)=u^{-1/2} é positiva, monótona decrescente para u>0 e \displaystyle\lim_{u\to\infty}u^{-1/2}=0.
Particionamos a integral em intervalos de comprimento \pi: para inteiros k com k grande, considere [k\pi,(k+1)\pi]. Em cada intervalo temos u^{-1/2}\ge ((k+1)\pi)^{-1/2} porque u\mapsto u^{-1/2} é decrescente. Então
Mas \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du=\int_{0}^{\pi}|\operatorname{sen} t|\,dt, e essa integral vale 2. Assim, para k grande,
Isto implica que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\operatorname{sen}(x^{2})\bigr|\,dx = +\infty. Conclusão: a integral original é convergente, mas não absolutamente — isto é, é condicionalmente convergente.
Passo 7
Valor explícito (comentário adicional útil para prova/curiosidade). É um resultado clássico (integrais de Fresnel) que
A demonstração desse valor exato normalmente passa por técnicas especiais (integrais gaussianas e contornos no plano complexo ou manipulações com integrais duplas) — mas para a prova costuma bastar saber que a integral converge; se pedirem o valor, pode-se citar a avaliação clássica acima.
Resposta
A integral converge (condicionalmente); \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}