Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr), definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O intervalo de integração é toda a reta real, isto é, integral imprópria com limites -\infty e +\infty.
    O objetivo é decidir se a integral própria (existente e finita) converge, e se possível dizer se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Observação útil: a função \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr) é uma função par, pois
\operatorname{sen}\!\bigl((-x)^{2}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Para integrais pares em (-\infty,\infty) vale a redução padrão:
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =2\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Portanto basta estudar a convergência de \displaystyle\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição clássica u=x^{2} para transformar a integral:
  • Se u=x^{2}, então du=2x\,dx e, para x\ge0, x=\sqrt{u} e dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}.
    Aplicando isso à integral truncada \displaystyle\int_{0}^{R}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx obtemos
\int_{0}^{R}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}} u^{-1/2}\,\operatorname{sen}(u)\,du.
Logo o comportamento de \displaystyle\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx equivale ao de
\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}\,\operatorname{sen}(u)\,du,
isto é, devemos analisar a convergência da integral imprópria em u:
\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}\,\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Verificação na singularidade em u=0. Perto de u=0 temos \operatorname{sen}(u)\sim u (expansão de Taylor), portanto
u^{-1/2}\operatorname{sen}(u)\sim u^{-1/2}\cdot u = u^{1/2}.
Como u^{1/2} é integrável perto de zero (pois \int_{0}^{\epsilon} u^{1/2}\,du é finita), a integral não apresenta problema em 0. Assim o único possível problema vem do comportamento quando u\to\infty.

Passo 5

Análise em u\to\infty usando o teste de Dirichlet para integrais impróprias oscilatórias.
Enunciado do teste de Dirichlet (versão para integrais): se F(u) tem primitiva limitada uniformemente, isto é, existe M tal que \left|\int_{a}^{t} f(s)\,ds\right|\le M para todo t\ge a, e g(u) é uma função monótona que tende a 0 quando u\to\infty, então a integral \int_{a}^{\infty} f(u)g(u)\,du converge.
Aqui escolhemos f(u)=\operatorname{sen}(u) e g(u)=u^{-1/2}.
  • A primitiva de f é \displaystyle\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u), que é limitada (oscila entre -1 e 1), logo satisfa z o primeiro requisito do teste.
  • A função g(u)=u^{-1/2} é positiva, monótona decrescente para u>0 e \displaystyle\lim_{u\to\infty}u^{-1/2}=0.
Pelo teste de Dirichlet, a integral
\int_{1}^{\infty} u^{-1/2}\operatorname{sen}(u)\,du
converge. Juntando com a integrabilidade local em [0,1] (ver Passo 4), concluímos que
\int_{0}^{\infty} u^{-1/2}\operatorname{sen}(u)\,du
é convergente. Portanto
\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
converge, e assim também converge
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Discussão sobre convergência absoluta (se é absolutamente convergente ou apenas condicional).
Vamos mostrar que a integral NÃO é absolutamente convergente, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\operatorname{sen}(x^{2})\bigr|\,dx = +\infty.
Novamente usamos a substituição u=x^{2} e a paridade:
\int_{1}^{\infty} \bigl|\operatorname{sen}(x^{2})\bigr|\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} u^{-1/2}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du.
Particionamos a integral em intervalos de comprimento \pi: para inteiros k com k grande, considere [k\pi,(k+1)\pi]. Em cada intervalo temos u^{-1/2}\ge ((k+1)\pi)^{-1/2} porque u\mapsto u^{-1/2} é decrescente. Então
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} u^{-1/2}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du \ge ((k+1)\pi)^{-1/2}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du.
Mas \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du=\int_{0}^{\pi}|\operatorname{sen} t|\,dt, e essa integral vale 2. Assim, para k grande,
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} u^{-1/2}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du \ge 2((k+1)\pi)^{-1/2}.
Somando em k obtém-se, para a cauda da integral,
\int_{N\pi}^{\infty} u^{-1/2}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du \ge 2\pi^{-1/2}\sum_{k\ge N} \frac{1}{\sqrt{k+1}}.
A série \sum 1/\sqrt{k+1} diverge (é uma série p-com com p=1/2\le1). Logo a integral à direita diverge, e portanto
\int_{1}^{\infty} u^{-1/2}\bigl|\operatorname{sen}(u)\bigr|\,du = +\infty.
Isto implica que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|\operatorname{sen}(x^{2})\bigr|\,dx = +\infty. Conclusão: a integral original é convergente, mas não absolutamente — isto é, é condicionalmente convergente.

Passo 7

Valor explícito (comentário adicional útil para prova/curiosidade). É um resultado clássico (integrais de Fresnel) que
\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.
Como a função é par, obtemos o valor na reta inteira:
\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =2\cdot\frac{\sqrt{2\pi}}{4}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}.
A demonstração desse valor exato normalmente passa por técnicas especiais (integrais gaussianas e contornos no plano complexo ou manipulações com integrais duplas) — mas para a prova costuma bastar saber que a integral converge; se pedirem o valor, pode-se citar a avaliação clássica acima.

Resposta

A integral converge (condicionalmente); \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}

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