Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
- O intervalo de integração é
, logo a impropriedade pode vir de e/ou de algum problema em . - Avaliando o integrando em
tem-se , valor finito; portanto não há singularidade em . - A única impropriedade relevante é o comportamento quando
.
Passo 2
Escolha do método: para estudar comportamento quando
é muito eficiente usar o teste da comparação limite (limit comparison test) com uma função simples de referência cuja convergência seja conhecida. Aqui, observando os graus dos polinômios no numerador e denominador, a forma assintótica sugere comparar com
. Explico esse teste no passo seguinte.
Passo 3
Ensinando o teste da comparação pelo limite (modo didático):
- Seja
a função em estudo e uma função positiva conhecida para grande. Se existir
com
(ou seja,
finito e positivo), então
converge se, e somente se,
converge. Em palavras: se
e
têm a mesma ordem assintótica positiva, eles convergem ou divergem juntos.
- Exemplo simples para fixar:
diverge (logaritmo que vai a infinito), enquanto converge; portanto comparar com é útil (saber que converge iff ).
Passo 4
Aplicando o teste: defina
Vamos calcular
Faço a multiplicação no numerador:
então
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por
:
Quando
todos os termos com potências negativas de
tendem a zero, portanto
Logo
(especificamente
), portanto o teste da comparação pelo limite é aplicável.
Passo 5
Conclusão a partir do teste: como
e a integral de referência
é divergente (é o logaritmo que tende a infinito), segue que
também diverge. Como já verificamos que
é contínua em
, a integral
é finita. Assim a impropriedade no infinito determina o comportamento da integral total: a integral sobre
diverge.
Passo 6
Resumo didático rápido para usar na prova:
- Quando o grau do denominador é exatamente um maior que o grau do numerador, a função racional tem comportamento assintótico como
e costuma divergir (porque diverge). - Procedimento seguro: aplicar o limite
. Se der número positivo finito, comparar com . - Lembre-se também de checar pontos finitos (como
) para ver se existem singularidades dentro do intervalo; aqui não havia.
Resposta
A integral é divergente.