Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{5}+3 x^{2}-7}{x^{6}+3 x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{5}+3 x^{2}-7}{x^{6}+3 x^{2}+3}\,dx
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • O intervalo de integração é [0,\infty), logo a impropriedade pode vir de x\to\infty e/ou de algum problema em x=0.
  • Avaliando o integrando em x=0 tem-se \dfrac{0+0-7}{0+0+3}=-\dfrac{7}{3}, valor finito; portanto não há singularidade em x=0.
  • A única impropriedade relevante é o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Escolha do método: para estudar comportamento quando x\to\infty é muito eficiente usar o teste da comparação limite (limit comparison test) com uma função simples de referência cuja convergência seja conhecida. Aqui, observando os graus dos polinômios no numerador e denominador, a forma assintótica sugere comparar com \dfrac{1}{x}. Explico esse teste no passo seguinte.

Passo 3

Ensinando o teste da comparação pelo limite (modo didático):
  • Seja f(x) a função em estudo e g(x) uma função positiva conhecida para x grande. Se existir
L=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}
com 0<L<\infty (ou seja, L finito e positivo), então \int^{\infty} f(x)\,dx converge se, e somente se, \int^{\infty} g(x)\,dx converge. Em palavras: se f e g têm a mesma ordem assintótica positiva, eles convergem ou divergem juntos.
  • Exemplo simples para fixar: \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx diverge (logaritmo que vai a infinito), enquanto \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge; portanto comparar com \dfrac{1}{x^{p}} é útil (saber que \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge iff p>1).

Passo 4

Aplicando o teste: defina
f(x)=\frac{x^{5}+3 x^{2}-7}{x^{6}+3 x^{2}+3} \qquad\text{e}\qquad g(x)=\frac{1}{x}.
Vamos calcular
L=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty} x\cdot f(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{x\,(x^{5}+3 x^{2}-7)}{x^{6}+3 x^{2}+3}.
Faço a multiplicação no numerador:
x\,(x^{5}+3 x^{2}-7)=x^{6}+3x^{3}-7x,
então
L=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{6}+3x^{3}-7x}{x^{6}+3x^{2}+3}.
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por x^{6}:
L=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{7}{x^{5}}}{1+\dfrac{3}{x^{4}}+\dfrac{3}{x^{6}}}.
Quando x\to\infty todos os termos com potências negativas de x tendem a zero, portanto
L=\frac{1+0-0}{1+0+0}=1.
Logo 0<L<\infty (especificamente L=1), portanto o teste da comparação pelo limite é aplicável.

Passo 5

Conclusão a partir do teste: como L=1 e a integral de referência
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
é divergente (é o logaritmo que tende a infinito), segue que
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
também diverge. Como já verificamos que f é contínua em [0,1], a integral \int_{0}^{1} f(x)\,dx é finita. Assim a impropriedade no infinito determina o comportamento da integral total: a integral sobre [0,\infty) diverge.

Passo 6

Resumo didático rápido para usar na prova:
  • Quando o grau do denominador é exatamente um maior que o grau do numerador, a função racional tem comportamento assintótico como \dfrac{1}{x} e costuma divergir (porque \int 1/x diverge).
  • Procedimento seguro: aplicar o limite \lim_{x\to\infty} x\cdot f(x). Se der número positivo finito, comparar com \dfrac{1}{x}.
  • Lembre-se também de checar pontos finitos (como x=0) para ver se existem singularidades dentro do intervalo; aqui não havia.

Resposta

A integral é divergente.

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