Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informação relevante fornecida:
- O intervalo de integração é
, logo a impropriedade vem do limite superior infinito. - A função integranda é
. - Observação útil (dado do enunciado): para qualquer
vale .
Passo 2
O que significa “a integral é convergente”? Por definição:
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral impropria converge; caso contrário, diverge. Aqui
é não negativa em todo o intervalo, portanto a convergência pode ser verificada por comparação com outra função cujo comportamento em infinito conhecemos.
Passo 3
Usamos a desigualdade básica para o seno: para todo
,
Dividindo por
(para
) obtemos
Esta desigualdade é a peça chave: ela nos dá uma função comparadora simples,
.
Passo 4
Recordando o teste-p (ou integral-p): para
tem-se
converge. Em particular, para
podemos calcular explicitamente:
Portanto
é convergente (vale
).
Passo 5
Agora aplicamos o teste de comparação: se
para
e
converge, então
também converge. Como verificamos em
que
e
converge, segue que
converge. Além disso, por ser uma função não negativa a convergência é também convergência absoluta.
Passo 6
Comentário final e dica prática para a prova: sempre que tiver funções oscilantes como
multiplicadas por uma potência de
, tente comparar com uma integral p (como
). Se o expoente
, normalmente você ganha convergência. Isso evita precisar integrar explicitamente funções oscilantes.
Resposta
Convergente (convergência absoluta).