Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}}\,dx
é convergente ou divergente. Informação relevante fornecida:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), logo a impropriedade vem do limite superior infinito.
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}}.
  • Observação útil (dado do enunciado): para qualquer x vale 0\le \operatorname{sen}^{2}x\le 1.

Passo 2

O que significa “a integral é convergente”? Por definição:
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} f(x)\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral impropria converge; caso contrário, diverge. Aqui f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}} é não negativa em todo o intervalo, portanto a convergência pode ser verificada por comparação com outra função cujo comportamento em infinito conhecemos.

Passo 3

Usamos a desigualdade básica para o seno: para todo x,
0\le \operatorname{sen}^{2}x\le 1.
Dividindo por x^{2}>0 (para x\ge 1) obtemos
0\le \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}}\le \frac{1}{x^{2}},\qquad \text{para todo }x\ge 1.
Esta desigualdade é a peça chave: ela nos dá uma função comparadora simples, \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Recordando o teste-p (ou integral-p): para p>1 tem-se
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
converge. Em particular, para p=2 podemos calcular explicitamente:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{R} =\lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{R}+1\right)=1.
Portanto \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx é convergente (vale 1).

Passo 5

Agora aplicamos o teste de comparação: se 0\le f(x)\le g(x) para x\ge a e \int_{a}^{\infty} g(x)\,dx converge, então \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx também converge. Como verificamos em que
0\le \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}}\le \frac{1}{x^{2}}
e \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge, segue que
\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}}\,dx
converge. Além disso, por ser uma função não negativa a convergência é também convergência absoluta.

Passo 6

Comentário final e dica prática para a prova: sempre que tiver funções oscilantes como \operatorname{sen}^2 x multiplicadas por uma potência de x, tente comparar com uma integral p (como 1/x^p). Se o expoente p>1, normalmente você ganha convergência. Isso evita precisar integrar explicitamente funções oscilantes.

Resposta

Convergente (convergência absoluta).

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