Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • A integral está sobre o intervalo [0,1].
  • O integrando \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} torna-se não limitado quando x\to1^{-} (porque 1-x^{2}\to0 e o denominador vai para zero).
    A tarefa é, portanto, estudar o comportamento perto de x=1 e decidir se a integral, entendida como integral imprópria, converge; se convergir, determinar seu valor.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando há singularidade no limite superior x=1, interpretamos a integral como um limite
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\lim_{b\to1^-}\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explicar isto: como o integrando fica infinito em x=1, não podemos simplesmente avaliar a integral definida até 1; em vez disso, integramos até um b<1 e depois fazemos b aproximar-se de 1. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral imprópria converge.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Uma maneira direta é usar a função arco-seno e justificar sua derivada. Seja y=\arcsin(x). Então \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (diferença implícita):
\cos y\;\frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Mas \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}} (tomando o sinal positivo para y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Logo
\frac{d}{dx}\big(\arcsin(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto uma primitiva é \arcsin(x) e, para 0\le x<b<1,
\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin(b)-\arcsin(0)=\arcsin(b),
pois \arcsin(0)=0.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do Passo 2, tomando o limite quando b\to1^{-}:
\lim_{b\to1^-}\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\lim_{b\to1^-}\arcsin(b).
Conhecendo a função arco-seno (ou vendo na circunferência trigonométrica), \arcsin(x) tende para \tfrac{\pi}{2} quando x\to1^{-}. Portanto esse limite existe e é finito, o que garante a convergência da integral imprópria.

Passo 5

Observação alternativa (útil na prova): fazer a substituição trigonométrica x=\sin\theta para ver de forma direta o valor e a convergência. Com x=\sin\theta tem-se dx=\cos\theta\,d\theta e \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta. O intervalo x\in[0,1) corresponde a \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}). Assim
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\lim_{\theta\to(\pi/2)^-}\int_{0}^{\theta}\frac{\cos\varphi\,d\varphi}{\cos\varphi} =\lim_{\theta\to(\pi/2)^-}\int_{0}^{\theta}d\varphi =\lim_{\theta\to(\pi/2)^-}\theta,
o que mostra tanto a convergência quanto que o valor limite é \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Resumo didático e intuitivo: a única possível dificuldade era em x=1, onde a função tem singularidade do tipo (1-x)^{-1/2}. Esse tipo de singularidade é integrável porque, perto de 1, a função tem comportamento como (1-x)^{-1/2} e a integral \int^{1}(1-x)^{-1/2}dx converge. Calculando a primitiva (arcsin) ou usando a substituição x=\sin\theta obtemos o valor final por limite.

Resposta

A integral converge e \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}.

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