Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- A integral está sobre o intervalo
. - O integrando
torna-se não limitado quando (porque e o denominador vai para zero).
A tarefa é, portanto, estudar o comportamento perto dee decidir se a integral, entendida como integral imprópria, converge; se convergir, determinar seu valor.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando há singularidade no limite superior
, interpretamos a integral como um limite
Explicar isto: como o integrando fica infinito em
, não podemos simplesmente avaliar a integral definida até
; em vez disso, integramos até um
e depois fazemos
aproximar-se de
. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral imprópria converge.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva de
. Uma maneira direta é usar a função arco-seno e justificar sua derivada. Seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(diferença implícita):
Mas
(tomando o sinal positivo para
). Logo
Portanto uma primitiva é
e, para
,
pois
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição do Passo 2, tomando o limite quando
:
Conhecendo a função arco-seno (ou vendo na circunferência trigonométrica),
tende para
quando
. Portanto esse limite existe e é finito, o que garante a convergência da integral imprópria.
Passo 5
Observação alternativa (útil na prova): fazer a substituição trigonométrica
para ver de forma direta o valor e a convergência. Com
tem-se
e
. O intervalo
corresponde a
. Assim
o que mostra tanto a convergência quanto que o valor limite é
.
Passo 6
Resumo didático e intuitivo: a única possível dificuldade era em
, onde a função tem singularidade do tipo
. Esse tipo de singularidade é integrável porque, perto de
, a função tem comportamento como
e a integral
converge. Calculando a primitiva (arcsin) ou usando a substituição
obtemos o valor final por limite.
Resposta
A integral converge e
.