é convergente ou divergente. As informações relevantes que temos:
O integrando é f(x)=e^{-x}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
Há duas fontes de impropriedade: o ponto x=0 (onde \sin(1/x) oscila infinitamente e 1/x é singular) e o infinito x\to\infty.
Precisamos decidir convergência da integral no intervalo [0,\infty). Pode ser útil distinguir convergência condicional e absoluta.
Passo 2
Vou explicar um conceito e um teste que vou usar (aqui é a parte “mini-aula”).
Definição (absoluta vs. condicional): dizemos que a integral imprópria \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx converge absolutamente se \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx converge. Se \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx converge mas \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx diverge, então a convergência é condicional.
Teste da comparação (forma usada aqui): se existe uma função integrável g(x)\ge 0 tal que |f(x)|\le g(x) para todo x no domínio considerado e \int g(x)\,dx<\infty, então \int |f(x)|\,dx converge, logo \int f(x)\,dx converge absolutamente.
Explicação do porquê: comparar com uma função maior que já tem integral finita garante que a área sob o módulo de f também é finita.
Passo 3
Aplicando o teste da comparação ao nosso integrando.
Observação elementar: para todo x>0 vale \left|\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\le 1. Portanto
Como \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx converge, a integral original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não há dúvida residual).
Intuição rápida: apesar das oscilações infinitas de \sin(1/x) perto de 0, o fator e^{-x} é limitado por 1 ali, e no infinito o fator e^{-x} faz o integrando decair exponencialmente; essas duas propriedades juntas garantem que a área total seja finita.
Resposta
A integral converge absolutamente, portanto converge.