Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} e^{-x} \operatorname{sen}(1 / x) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx
é convergente ou divergente. As informações relevantes que temos:
  • O integrando é f(x)=e^{-x}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • Há duas fontes de impropriedade: o ponto x=0 (onde \sin(1/x) oscila infinitamente e 1/x é singular) e o infinito x\to\infty.
  • Precisamos decidir convergência da integral no intervalo [0,\infty). Pode ser útil distinguir convergência condicional e absoluta.

Passo 2

Vou explicar um conceito e um teste que vou usar (aqui é a parte “mini-aula”).
  • Definição (absoluta vs. condicional): dizemos que a integral imprópria \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx converge absolutamente se \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx converge. Se \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx converge mas \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx diverge, então a convergência é condicional.
  • Teste da comparação (forma usada aqui): se existe uma função integrável g(x)\ge 0 tal que |f(x)|\le g(x) para todo x no domínio considerado e \int g(x)\,dx<\infty, então \int |f(x)|\,dx converge, logo \int f(x)\,dx converge absolutamente.
    Explicação do porquê: comparar com uma função maior que já tem integral finita garante que a área sob o módulo de f também é finita.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação ao nosso integrando.
  • Observação elementar: para todo x>0 vale \left|\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\le 1. Portanto
\left|e^{-x}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le e^{-x}.
  • A função de comparação será g(x)=e^{-x}, que é não negativa e tem integral finita em [0,\infty). Vou calcular essa integral para deixar claro:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty} = 0 - (-1)=1.
Como \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=1<\infty e \left|e^{-x}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\le e^{-x}, pela comparação temos que
\int_{0}^{\infty} \left|e^{-x}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\,dx<\infty.

Passo 4

Conclusão e interpretação didática.
  • Como \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx converge, a integral original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não há dúvida residual).
  • Intuição rápida: apesar das oscilações infinitas de \sin(1/x) perto de 0, o fator e^{-x} é limitado por 1 ali, e no infinito o fator e^{-x} faz o integrando decair exponencialmente; essas duas propriedades juntas garantem que a área total seja finita.

Resposta

A integral converge absolutamente, portanto converge.

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