Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- Os parâmetros satisfazem
e . - A integral é imprópria por dois motivos: intervalo não limitado em cima (
) e possível singularidade em dependendo de .
O objetivo é analisar o comportamento da integral perto dee quando , e decidir sobre convergência (ou divergência).
Passo 2
Análise do comportamento perto de
.
Ao aproximar
de
vale
. Então, para
pequeno o integrando se comporta como
. Lembrete prático (critério para potências): a integral
converge (tem valor finito) se, e somente se,
. Esse fato vem do cálculo direto:
e a expressão no limite
é finita exatamente quando
. No nosso caso
. Como foi dado
, temos
e, portanto, a integral é convergente na vizinhança de
.
Passo 3
Análise do comportamento quando
— transformação conveniente.
Para estudar o comportamento no infinito é útil fazer a substituição
Então
e o diferencial é
Substituindo na integral obtemos (escrevendo a transformação completa):
Agora simplificamos as potências de
:
logo o integrando fica
Portanto
Passo 4
Reconhecimento da integral transformada como função Gamma e critério de convergência.
A integral
define a função Gamma e converge se, e somente se,
. Para ver por quê, analisa-se o comportamento:
- Perto de
o integrando se comporta como , que é integrável em quando , i.e. . - Quando
o fator dá decaimento exponencial que domina qualquer potência, garantindo integrabilidade no infinito para qualquer .
No nosso caso o parâmetroé
Como
implica
e
, temos
. Portanto a integral do tipo Gamma converge. Assim a integral original converge por causa dessa transformação.
Passo 5
Valor da integral (além da convergência).
Pelo que mostramos,
onde
é a função Gamma usual e a condição para a integral convergir é exatamente
, que aqui é automaticamente satisfeita pelos dados
.
Passo 6
Resumo final e dica prática para prova.
- Perto de
: comparação com e condição . Como , está ok. - No infinito: a substituição
reduz o problema à integral de Gamma com parâmetro . A integral de Gamma converge se , o que ocorre porque e .
Dica rápida para a prova: lembrar dessa substituição como truque-padrão para integrais da forma; ela frequentemente reduz ao caso da função Gamma.
Resposta
A integral converge para todo
e