Verifique, justificando sua resposta, se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
O conjunto
\beta-\left\{\left(\begin{array}{cc} 3 & 6 \\\\ 3 & -6 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & -8 \\\\ -12 & -4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right)\right\}
forma uma base para V=M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto dado forma uma base do espaço V=M(2,2). Os quatro elementos apresentados (vou chamar de M_1,M_2,M_3,M_4) são:
M_1=\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]3 & -6\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad M_3=\begin{pmatrix}0 & -8\\[4pt]-12 & -4\end{pmatrix},\qquad M_4=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta é: esse conjunto de quatro matrizes é uma base de V=M(2,2)? (Resumindo: determinar se o conjunto é ou não uma base e justificar.)]

Passo 2

Relembrando o que significa “ser base” de forma prática e útil para a prova:
  • Uma base de V é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram V.
  • Para V=M(2,2) sabemos que \dim V=4. Logo, qualquer conjunto com exatamente quatro matrizes que seja linearmente independente já é automaticamente uma base (porque quatro vetores independentes em um espaço de dimensão 4 geram o espaço).
    Portanto, basta provar que as quatro matrizes M_1,M_2,M_3,M_4 são linearmente independentes.
Explicando linear independência (passo-a-passo): um conjunto \{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Aqui cada v_i pode ser representado como um vetor em \mathbb{R}^4 ao “achatar” a matriz na ordem das entradas (a,b,c,d) para \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem natural (a,b,c,d) com a matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}:
v_1=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]3\\[4pt]-6\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-8\\[4pt]-12\\[4pt]-4\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Consideramos a combinação linear
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0,
que, por componentes, dá o sistema de equações:
\begin{cases} 3\alpha_1 + 0\alpha_2 + 0\alpha_3 + 1\alpha_4 = 0,\\[4pt] 6\alpha_1 -1\alpha_2 -8\alpha_3 + 0\alpha_4 = 0,\\[4pt] 3\alpha_1 -1\alpha_2 -12\alpha_3 -1\alpha_4 = 0,\\[4pt] -6\alpha_1 + 0\alpha_2 -4\alpha_3 +2\alpha_4 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo (faça na prova do mesmo jeito, isolando variáveis quando possível):
Da primeira equação temos
3\alpha_1+\alpha_4=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_4=-3\alpha_1.
Da segunda equação
6\alpha_1-\alpha_2-8\alpha_3=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_2=6\alpha_1-8\alpha_3.
Substituímos \alpha_2 e \alpha_4 na terceira equação:
3\alpha_1 - (6\alpha_1-8\alpha_3) -12\alpha_3 -(-3\alpha_1)=0.
Calcule passo a passo o lado esquerdo:
3\alpha_1 -6\alpha_1 +8\alpha_3 -12\alpha_3 +3\alpha_1 = (3-6+3)\alpha_1 +(8-12)\alpha_3 = 0\cdot\alpha_1 -4\alpha_3 = -4\alpha_3.
Portanto -4\alpha_3=0, de onde
\alpha_3=0.
Com \alpha_3=0 voltamos a \alpha_2=6\alpha_1-8\cdot 0 = 6\alpha_1 e \alpha_4=-3\alpha_1.
Agora usamos a quarta equação:
-6\alpha_1 -4\alpha_3 +2\alpha_4 = 0.
Substituindo \alpha_3=0 e \alpha_4=-3\alpha_1,
-6\alpha_1 + 0 + 2(-3\alpha_1) = -6\alpha_1 -6\alpha_1 = -12\alpha_1 = 0,
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\alpha_1=0.
Com \alpha_1=0 e \alpha_3=0 obtemos \alpha_2=6\cdot 0=0 e \alpha_4=-3\cdot 0=0.
Assim a única solução do sistema é
\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0,
ou seja, os vetores (matrizes) são linearmente independentes.

Passo 5

Como M(2,2) tem dimensão 4 e temos exatamente quatro matrizes M_1,M_2,M_3,M_4 que são linearmente independentes, elas formam uma base de M(2,2). Conclusão: o conjunto dado é uma base.

Resposta

Verdadeiro.

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