O enunciado pede para verificar se o conjunto dado forma uma base do espaço V=M(2,2). Os quatro elementos apresentados (vou chamar de M_1,M_2,M_3,M_4) são:
A pergunta é: esse conjunto de quatro matrizes é uma base de V=M(2,2)? (Resumindo: determinar se o conjunto é ou não uma base e justificar.)]
Passo 2
Relembrando o que significa “ser base” de forma prática e útil para a prova:
Uma base de V é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram V.
Para V=M(2,2) sabemos que \dim V=4. Logo, qualquer conjunto com exatamente quatro matrizes que seja linearmente independente já é automaticamente uma base (porque quatro vetores independentes em um espaço de dimensão 4 geram o espaço).
Portanto, basta provar que as quatro matrizes M_1,M_2,M_3,M_4 são linearmente independentes.
Explicando linear independência (passo-a-passo): um conjunto \{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Aqui cada v_i pode ser representado como um vetor em \mathbb{R}^4 ao “achatar” a matriz na ordem das entradas (a,b,c,d) para \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}.
Passo 3
Vamos transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordem natural (a,b,c,d) com a matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}:
Com \alpha_1=0 e \alpha_3=0 obtemos \alpha_2=6\cdot 0=0 e \alpha_4=-3\cdot 0=0.
Assim a única solução do sistema é
\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0,
ou seja, os vetores (matrizes) são linearmente independentes.
Passo 5
Como M(2,2) tem dimensão 4 e temos exatamente quatro matrizes M_1,M_2,M_3,M_4 que são linearmente independentes, elas formam uma base de M(2,2). Conclusão: o conjunto dado é uma base.