(2.5 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(z, z-y,-z).
a) Mostre que T é linear.
b) Determine uma base para o núcleo e a sua dimensāo.
c) Determine uma base para a imagem e a sua dimensāo.
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (z,\; z-y,\; -z).
As perguntas são:
a) Mostrar que T é linear.
b) Determinar uma base do núcleo de T e sua dimensão.
c) Determinar uma base da imagem de T e sua dimensão.
d) Dizer se T é injetora e se é sobrejetora, com justificativa.

Passo 2

Definição e como vamos checar linearidade (explicação didática curta).
  • Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c\in\mathbb{R}, valem as propriedades T(u+v)=T(u)+T(v)e T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades expressam, respectivamente, aditividade e homogeneidade. Vou verificar as duas diretamente aplicando a fórmula de T.

Passo 3

Verificação direta da aditividade e homogeneidade.
  • Tomemos u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).Aplicando T, T(u+v)=\big(z_1+z_2,\; (z_1+z_2)-(y_1+y_2),\; -(z_1+z_2)\big).Por outro lado, T(u)=(z_1,\; z_1-y_1,\; -z_1),\qquad T(v)=(z_2,\; z_2-y_2,\; -z_2),e somando: T(u)+T(v)=(z_1+z_2,\; (z_1-y_1)+(z_2-y_2),\; -z_1-z_2).Como (z_1-y_1)+(z_2-y_2)=(z_1+z_2)-(y_1+y_2), obtemos T(u+v)=T(u)+T(v).
  • Para homogeneidade, tome escalar c. Então c u=(c x_1,c y_1,c z_1) e T(cu)=(c z_1,\; c z_1 - c y_1,\; -c z_1)=c\,(z_1,\; z_1-y_1,\; -z_1)=c\,T(u).
Conclui-se que T satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto T é linear.

Passo 4

Matriz de T na base canônica (ajuda didática e ferramenta prática).
  • Seja e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Calcule T em cada base: T(e_1)=T(1,0,0)=(0,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0,-1,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,-1).
  • A matriz A de T relativa à base canônica tem essas imagens como colunas: A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[3pt] 0 & -1 & 1\\[3pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação: cada coluna é T(e_i); então para qualquer vetor v=(x,y,z) temos T(v)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrando o núcleo (passo a passo e conceito).
  • O núcleo é o conjunto de vetores v=(x,y,z)\) tais que \(T(v)=0\). Escrevendo as componentes: \[T(x,y,z)=(z,\; z-y,\; -z)=(0,0,0).Isso dá o sistema de equações \begin{cases} z=0,\\[3pt] z-y=0,\\[3pt] -z=0. \end{cases}
  • Da primeira equação vem z=0\]. Substituindo em \(z-y=0 obtemos -y=0 logo y=0. Não aparece x em nenhuma equação, então x é livre.
  • Portanto os vetores do núcleo têm a forma (x,0,0)=x(1,0,0) com x\in\mathbb{R}.
  • Logo uma base do núcleo é \{(1,0,0)\},e a dimensão do núcleo é \dim(\ker T)=1.
Comentário didático: resolver T(v)=0 é resolver um sistema homogêneo; aqui apenas as coordenadas y,z ficaram fixadas e x ficou livre.]

Passo 6

Determinando a imagem (passo a passo e interpretação).
  • A imagem de T\) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz \(A\), isto é, pelo conjunto \(\{T(e_1),T(e_2),T(e_3)\}\). - Como \(T(e_1)=(0,0,0)\), isso não contribui. Restam as colunas \[v_1=(0,-1,0),\qquad v_2=(1,1,-1).Assim \operatorname{Im} T = \operatorname{span}\{(0,-1,0),\,(1,1,-1)\}.
  • Verifico se v_1 e v_2 são linearmente independentes: suponha \alpha v_1+\beta v_2=(0,0,0). Isso dá o sistema \begin{cases} \beta = 0,\\[3pt] -\alpha + \beta = 0,\\[3pt] -\beta = 0. \end{cases}Da primeira (ou terceira) equação vem \beta=0\]; então da segunda segue \(\alpha=0. Logo são LI.
  • Portanto \{(0,-1,0),\,(1,1,-1)\} é uma base da imagem e \dim(\operatorname{Im} T)=2.
Comentário didático: a imagem é o conjunto de todos os vetores possíveis T(x,y,z); aqui pode-se ver também que
T(x,y,z)=z\,(1,1,-1)+y\,(0,-1,0),
o que mostra explicitamente que qualquer imagem é combinação linear de v_1 e v_2.]

Passo 7

Verificação com o teorema posto-núcleo (Rank–Nullity) e checagem final.
  • O teorema do posto-núcleo diz que para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 vale \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=3.Aqui temos 1+2=3, consistente com o cálculo anterior.
  • Injetividade: T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}. Como \ker T contém (1,0,0)\neq(0,0,0), a transformação NÃO é injetora.
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^3, ou seja, se \dim(\operatorname{Im} T)=3. Como \dim(\operatorname{Im} T)=2<3, T NÃO é sobrejetora.

Resposta

a) T é linear.
b) Base do núcleo: \{(1,0,0)\}. Dimensão do núcleo: 1.
c) Base da imagem: \{(0,-1,0),\,(1,1,-1)\}. Dimensão da imagem: 2.
d) T não é injetora e não é sobrejetora.

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