Escreva a matriz de transformação
para a reflexão de vetores de
pela reta
em relação à base canônica. Escreva a matriz de transformação
na base
de duas maneiras: (a) calculando diretamente
para
; (b) encontrando a matriz mudança de base da base
para a base canônica e utilizando a relação da nota 2 acima.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedem a matriz da transformação linear de reflexão pela reta
na base canônica; ou seja, a matriz em relação à base canônica . - Pedem também a matriz da mesma transformação (vou chamar de
) relativa à base com e . Essa matriz será escrita como . - Para
é exigido fazer de duas maneiras:
(a) aplicandodiretamente em e e escrevendo as imagens nas coordenadas da base ;
(b) construindo a matriz de mudança de base(de para a base canônica) e usando a relação (a nota 2 citada).
Passo 2
Entendendo a reflexão e construindo
na base canônica.
- Definição operacional: a reflexão pela reta
troca as coordenadas de um vetor. Em palavras simples, a imagem de é . - Para obter a matriz em relação à base canônica, uso que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica escritas em coordenadas canônicas.
- Calculo as imagens:
- A imagem de
é . - A imagem de
é .
- A imagem de
- Assim, as colunas da matriz
(na base canônica) são e , respectivamente.
Passo 3
Resultado cronológico parcial (sem repetir a resposta final): conclusão prática para
.
- A matriz
tem primeira coluna e segunda coluna . - Isso representa exatamente a operação “trocar coordenadas” que descreve a reflexão pela reta
.
Passo 4
Método (a): calcular [P(\vec{v}_i)) para
e expressar em coordenadas da base
.
-
Primeiro, aplicar a reflexão a
: - Pela regra de troca de coordenadas,
. - Agora quero escrever
como combinação linear dos vetores de : Isso dá o sistema (equivalente às componentes): Somando as equações: . - Portanto, as coordenadas de
na base são (isto é, vezes mais vezes ).
- Pela regra de troca de coordenadas,
-
Agora aplicar a reflexão a
: - Pela troca,
. - Escrever
: Somando: . - Assim, as coordenadas de
na base são .
- Pela troca,
-
As colunas da matriz
(pela construção direta) são os vetores coordenados de e na base , ou seja, os vetores coluna e .]
Passo 5
Explicando a relação de mudança de base e construindo a matriz
.
-
Conceito rápido: se
é a matriz cujas colunas são os vetores da base escritos em coordenadas da base canônica, então, para qualquer transformação linear representada por na base canônica, a representação na base é Intuição:converte coordenadas em para coordenadas canônicas; age no espaço canônico; traz o resultado de volta para coordenadas em . -
Construo
colocando e como colunas: ]
Passo 6
Calcular
e usar a fórmula
.
- Determinante de
: - Inversa de
(fórmula para inversa de ): - Lembre:
(na base canônica) foi obtida antes; escrevo-a explicitamente para multiplicar: - Calculo em duas etapas para facilitar (mostrando passos algébricos):
- Primeiro
: (feito coluna a coluna: troca as componentes de cada coluna de .) - Depois
: Multiplico as matrizes: Dividindo por : ]
- Primeiro
Passo 7
Interpretação geométrica curta (para fixar a intuição) e checagem.
- Geometricamente,
está sobre a reta , então a reflexão o deixa inalterado (autovetor com autovalor ). -
é perpendicular à reta (na direção que sofre inversão), por isso a reflexão o muda de sinal (autovetor com autovalor ). - Isso explica porque, na base
, a matriz da reflexão é diagonal com entradas e .