Escreva a matriz de transformação [R] para a reflexão de vetores de \mathbb{R}^{2} pela reta y=x em relação à base canônica. Escreva a matriz de transformação [P]_{B}^{B} na base B=\{(1,1),(-1,1)\} de duas maneiras: (a) calculando diretamente P\left(\vec{v}_{i}\right) para \vec{v}_{i} \in B; (b) encontrando a matriz mudança de base da base B para a base canônica e utilizando a relação da nota 2 acima.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedem a matriz da transformação linear de reflexão pela reta y=x na base canônica; ou seja, a matriz [R] em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}.
  • Pedem também a matriz da mesma transformação (vou chamar de P) relativa à base B=\{\,\vec{v}_1,\vec{v}_2\,\} com \vec{v}_1=(1,1) e \vec{v}_2=(-1,1). Essa matriz será escrita como [P]_{B}^{B}.
  • Para [P]_{B}^{B} é exigido fazer de duas maneiras:
    (a) aplicando P diretamente em \vec{v}_1 e \vec{v}_2 e escrevendo as imagens nas coordenadas da base B;
    (b) construindo a matriz de mudança de base S (de B para a base canônica) e usando a relação [P]_{B}^{B}=S^{-1}[P]S (a nota 2 citada).

Passo 2

Entendendo a reflexão e construindo [R] na base canônica.
  • Definição operacional: a reflexão pela reta y=x troca as coordenadas de um vetor. Em palavras simples, a imagem de (x,y) é (y,x).
  • Para obter a matriz em relação à base canônica, uso que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica escritas em coordenadas canônicas.
  • Calculo as imagens:
    • A imagem de e_1=(1,0) é R(e_1)=(0,1).
    • A imagem de e_2=(0,1) é R(e_2)=(1,0).
  • Assim, as colunas da matriz [R] (na base canônica) são (0,1) e (1,0), respectivamente.

Passo 3

Resultado cronológico parcial (sem repetir a resposta final): conclusão prática para [R].
  • A matriz [R] tem primeira coluna R(e_1)=(0,1) e segunda coluna R(e_2)=(1,0).
  • Isso representa exatamente a operação “trocar coordenadas” que descreve a reflexão pela reta y=x.

Passo 4

Método (a): calcular [P(\vec{v}_i)) para \vec{v}_i\in B e expressar em coordenadas da base B.
  • Primeiro, aplicar a reflexão a \vec{v}_1=(1,1):
    • Pela regra de troca de coordenadas, P(\vec{v}_1)=R(1,1)=(1,1).
    • Agora quero escrever (1,1) como combinação linear dos vetores de B: (1,1)=\alpha\,(1,1)+\beta\,(-1,1).Isso dá o sistema (equivalente às componentes): \begin{cases} \alpha-\beta=1,\\[4pt] \alpha+\beta=1. \end{cases}Somando as equações: 2\alpha=2\Rightarrow \alpha=1\]. Então \[\beta=0.
    • Portanto, as coordenadas de P(\vec{v}_1) na base B são (1,0) (isto é, 1 vezes \vec{v}_1 mais 0 vezes \vec{v}_2).
  • Agora aplicar a reflexão a \vec{v}_2=(-1,1):
    • Pela troca, P(\vec{v}_2)=R(-1,1)=(1,-1).
    • Escrever (1,-1)=\alpha\,(1,1)+\beta\,(-1,1): \begin{cases} \alpha-\beta=1,\\[4pt] \alpha+\beta=-1. \end{cases}Somando: 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\]. Então \(\beta=-1.
    • Assim, as coordenadas de P(\vec{v}_2) na base B são (0,-1).
  • As colunas da matriz [P]_{B}^{B} (pela construção direta) são os vetores coordenados de P(\vec{v}_1) e P(\vec{v}_2) na base B, ou seja, os vetores coluna (1,0) e (0,-1).]

Passo 5

Explicando a relação de mudança de base e construindo a matriz S.
  • Conceito rápido: se S é a matriz cujas colunas são os vetores da base B escritos em coordenadas da base canônica, então, para qualquer transformação linear T representada por [T] na base canônica, a representação na base B é
    [T]_{B}^{B}=S^{-1}[T]S.
    Intuição: S converte coordenadas em B para coordenadas canônicas; [T] age no espaço canônico; S^{-1} traz o resultado de volta para coordenadas em B.
  • Construo S colocando \vec{v}_1 e \vec{v}_2 como colunas:
    S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular S^{-1} e usar a fórmula [P]_{B}^{B}=S^{-1}[R]S.
  • Determinante de S: \det(S)=1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 1+1 = 2.
  • Inversa de S (fórmula para inversa de 2\times2): S^{-1}=\frac{1}{\det(S)}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Lembre: [R] (na base canônica) foi obtida antes; escrevo-a explicitamente para multiplicar: [R]=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Calculo em duas etapas para facilitar (mostrando passos algébricos):
    • Primeiro [R]S: [R]S=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.(feito coluna a coluna: [R] troca as componentes de cada coluna de S.)
    • Depois S^{-1}([R]S): S^{-1}[R]S=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.Multiplico as matrizes: \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.Dividindo por 2: S^{-1}[R]S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação geométrica curta (para fixar a intuição) e checagem.
  • Geometricamente, \vec{v}_1=(1,1) está sobre a reta y=x, então a reflexão o deixa inalterado (autovetor com autovalor 1).
  • \vec{v}_2=(-1,1) é perpendicular à reta y=x (na direção que sofre inversão), por isso a reflexão o muda de sinal (autovetor com autovalor -1).
  • Isso explica porque, na base B, a matriz da reflexão é diagonal com entradas 1 e -1.

Resposta

[R]=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
[P]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}

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