O que precisamos verificar (em palavras claras): descobrir se existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v,
com \lambda=-2. Uma forma prática de testar isso é verificar se a matriz A-\lambda I é singular (tem determinante zero), porque singularidade indica existência de solução não trivial de (A-\lambda I)v=0.]
Passo 2
Escrevendo a condição matricial de autovalor: para \lambda=-2 devemos analisar
Lembrando a fórmula do determinante para matriz 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então
\det(M)=ad-bc.
Aplicando ao caso M=A+2I=\begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}:
\det(A+2I)=9\cdot 1 - 3\cdot 3 = 9 - 9 = 0.
Como o determinante é zero, a matriz A+2I é singular, portanto o sistema homogêneo
(A+2I)v=0
tem solução não-trivial (existe vetor v\neq 0 na nulidade).]
Passo 4
Para ver explicitamente um vetor próprio (autovetor), escrevemos o sistema linear correspondente. Se v=\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}\), então
\[\begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}
Da segunda equação obtemos y=-3x\]. Substituindo na primeira:
\[9x + 3(-3x)=9x-9x=0,\]
que é satisfeita para qualquer \(x. Escolhendo x=1 (para ter um vetor não nulo simples), obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\end{pmatrix},
que satisfaz (A+2I)v=0, isto é Av=-2v. Assim existe um vetor não nulo associado a \lambda=-2.]
Passo 5
Como verificação alternativa, calculemos o polinômio característico de A: