Verifique se \lambda=-2 é autovalor da matriz \left[\begin{array}{cc}7 & 3 \\\\ 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \lambda=-2 é autovalor da matriz
A=\begin{pmatrix}7 & 3 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A é a matriz 2\times2 acima.
  • O valor a testar é \lambda=-2.
O que precisamos verificar (em palavras claras): descobrir se existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v,
com \lambda=-2. Uma forma prática de testar isso é verificar se a matriz A-\lambda I é singular (tem determinante zero), porque singularidade indica existência de solução não trivial de (A-\lambda I)v=0.]

Passo 2

Escrevendo a condição matricial de autovalor: para \lambda=-2 devemos analisar
A - (-2)I = A + 2I.
Calcule A+2I:
A+2I=\begin{pmatrix}7 & 3 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7+2 & 3 \\[4pt] 3 & -1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrando a fórmula do determinante para matriz 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então
\det(M)=ad-bc.
Aplicando ao caso M=A+2I=\begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}:
\det(A+2I)=9\cdot 1 - 3\cdot 3 = 9 - 9 = 0.
Como o determinante é zero, a matriz A+2I é singular, portanto o sistema homogêneo
(A+2I)v=0
tem solução não-trivial (existe vetor v\neq 0 na nulidade).]

Passo 4

Para ver explicitamente um vetor próprio (autovetor), escrevemos o sistema linear correspondente. Se v=\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}\), então \[\begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}
gera o sistema
\begin{cases} 9x + 3y = 0,\\[4pt] 3x + 1y = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos y=-3x\]. Substituindo na primeira: \[9x + 3(-3x)=9x-9x=0,\] que é satisfeita para qualquer \(x. Escolhendo x=1 (para ter um vetor não nulo simples), obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\end{pmatrix},
que satisfaz (A+2I)v=0, isto é Av=-2v. Assim existe um vetor não nulo associado a \lambda=-2.]

Passo 5

Como verificação alternativa, calculemos o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}7-\lambda & 3 \\[4pt] 3 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(7-\lambda)(-1-\lambda)-9.
Expandindo:
(7-\lambda)(-1-\lambda)-9 = \lambda^{2}-6\lambda-16.
Avalie em \lambda=-2:
\chi_A(-2)=(-2)^{2}-6(-2)-16 = 4+12-16=0.
Isso confirma que \lambda=-2 é raiz do polinômio característico, ou seja, é autovalor.]

Resposta

Sim, \lambda=-2 é autovalor da matriz \begin{pmatrix}7 & 3 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.]

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