Verifique que se são v.a.s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição comum então tem distribuição (esta distribuição é conhecida como qui-quadrado com graus de liberdade e denotada .
(Sugestão: use os exercícios (15b) da Lista 7 e (5b) anterior)
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, se são variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição , então
tem distribuição , também chamada de .
Conteúdo: transformações de variáveis contínuas, densidade do quadrado de uma Normal, soma de variáveis Gama. Vamos precisar (i) derivar a lei de quando e (ii) usar que soma de Gammas (mesma razão) é Gamma com formas somadas.
Passo 2
Vamos achar a densidade de , onde tem
Para , as raízes de são . A fórmula de transformação diz
Como ,
Compare com a densidade Gama com forma e razão :
Logo .
Passo 3
Como os Y1+Y2simGama(alpha1+alpha2,lambda) são independentes, cada S = sumi=1^nXi^2 sim Gamal(ncdottfrac12,;1/2r) = Gamal(n/2,;1/2r) é independente.
Propriedade chave de Gammas: se e são independentes, então
Aplicando isso iterativamente para as variáveis, obtemos