Verifique que se X1, X2, ldots, Xn são v.a.s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição comum N(0,1) então X1^2+X2^2+cdots+Xn^2 tem distribuição Gama(n / 2,1 / 2) (esta distribuição é conhecida como qui-quadrado com n graus de liberdade e denotada chi^2(n)).
(Sugestão: use os exercícios (15b) da Lista 7 e (5b) anterior)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, se S = X1^2 + X2^2 + cdots + Xn^2 são variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição , então
tem distribuição , também chamada de .
Conteúdo: transformações de variáveis contínuas, densidade do quadrado de uma Normal, soma de variáveis Gama. Vamos precisar (i) derivar a lei de quando e (ii) usar que soma de Gammas (mesma razão) é Gamma com formas somadas.

Passo 2

Vamos achar a densidade de fX(x) = 1raiz2pi,e^-x^2/2, xinR , onde fY(y) = sumx:,x^2=y fX(x),l|tfracdxdyr| = fX(raiz y),12raiz y + fX(-raiz y),12raiz y tem
fY(y) = 2cdot1raiz2pie^-y/2cdot12raiz y = 1raiz2pi,y,e^-y/2, y>0
Para f(y) = lambda^alphaGamma(alpha),y^alpha-1,e^-lambda y = (1/2)^1/2Gamma(1/2),y^-1/2,e^-y/2 = 1raiz2pi,y,e^-y/2 , as raízes de são . A fórmula de transformação diz
Como ,
Compare com a densidade Gama com forma e razão :
Logo .

Passo 3

Como os Y1+Y2simGama(alpha1+alpha2,lambda) são independentes, cada S = sumi=1^nXi^2 sim Gamal(ncdottfrac12,;1/2r) = Gamal(n/2,;1/2r) é independente.
Propriedade chave de Gammas: se e são independentes, então
Aplicando isso iterativamente para as variáveis, obtemos

Resposta

X1^2+X2^2+cdots+Xn^2 ;sim; Gamal(tfracn2,,tfrac12r),
ou seja, .

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