Verifique se \left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| com os números:
(a) z_{1}=1+i, z_{2}=2-i

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de módulos de números complexos, a saber
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \bigl|z_{1}\bigr|\cdot\bigl|z_{2}\bigr|
para os complexos z_{1}=1+i e z_{2}=2-i. Vamos usar definição de produto de complexos e fórmula do módulo.

Passo 2

Calcular o produto
z_{1}z_{2} = (1+i)(2-i).
Distribuindo,
(1+i)(2-i) = 1\cdot2 + 1\cdot(-i) + i\cdot2 + i\cdot(-i) = 2 - i + 2i - i^{2}.
Como i^{2}=-1, isso dá
2 - i + 2i -(-1) = 3 + i.

Passo 3

Calcular o módulo de z_{1}z_{2}:
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = |3+i| = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10}.

Passo 4

Calcular os módulos de z_{1} e z_{2} separadamente:
|z_{1}| = |1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}, \quad |z_{2}| = |2-i| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{5}.
O produto desses módulos é
|z_{1}|\cdot|z_{2}| = \sqrt{2}\,\sqrt{5} = \sqrt{10}.

Passo 5

Comparando os resultados temos
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \sqrt{10} \quad\text{e}\quad |z_{1}|\cdot|z_{2}| = \sqrt{10},
logo a igualdade é satisfeita.

Resposta

A propriedade \bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = |z_{1}|\cdot|z_{2}| é confirmada, pois ambos os lados valem \sqrt{10}.

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