Calcule os seguintes limites, se existirem:
  1. lim (x, y) (1,1) 3 x^3-3 y^24 x^4+3 x^2 y^2-7 x y^3
  2. lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2
  3. lim (x, y) (1,2) x y-2 x-y+2x^2+y^2-2 x-4 y+5 1 2
  4. lim (x, y) (1,1) 3 x^3-3 y^34 x^4+3 x^2 y^2-7 x y^3
  5. lim (x, y) (2,1) x^2-4 x+4x y-2 y-x+2
  6. lim (x, y) (0,0) x^2+y^2sin (x^2+y^2)
  7. lim (x, y) (0,0) x^4-x^2 y^2x^2+y^2-2 x y
  8. lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 y2 x^2+y^2
  9. lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x^2+y^2
  10. lim (x, y) (0,0) xx+y
  11. lim (x, y) (0,0) 3 x y4 x^4+y^4
  12. lim (x, y) (0,0) cos x-1-x^22x^4+y^4
  13. lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1
  14. lim (x, y) (0,0) 1-e^-(x^2+y^2)x^2+y^2
  15. lim (x, y) (0,0) 21x+1y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro limite que é:
lim (x, y) (1,1) 3 x^3-3 y^24 x^4+3 x^2 y^2-7 x y^3
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando x e y se aproximam de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 e y = 1 diretamente na função para ver se conseguimos um valor definido.
No numerador:
3(1)^3 - 3(1)^2 = 3 - 3 = 0
No denominador:
4(1)^4 + 3(1)^2(1)^2 - 7(1)(1)^3 = 4 + 3 - 7 = 0
Obtivemos uma forma indeterminada 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
3x^3 - 3y^2 = 3(x^3 - y^2)
Denominador:
4x^4 + 3x^2 y^2 - 7x y^3
Esse denominador não parece fatorar facilmente, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Uma técnica útil para limites em múltiplas variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar pelo eixo x e pelo eixo y. Se os limites forem diferentes, o limite geral não existe.
Vamos primeiro fixar y = 1 e deixar x 1:
Substituindo y = 1:
3x^3 - 3(1)^24x^4 + 3x^2(1)^2 - 7x(1)^3 = 3x^3 - 34x^4 + 3x^2 - 7x
Agora, substituímos x = 1:
3(1)^3 - 34(1)^4 + 3(1)^2 - 7(1) = 3 - 34 + 3 - 7 = 00
Ainda uma indeterminação. Vamos tentar outra direção.

Passo 5

Agora, vamos aproximar-nos pela linha y = x. Ou seja, definimos y = x e deixamos x 1.
Substituindo y = x:
3x^3 - 3x^24x^4 + 3x^2x^2 - 7x x^3 = 3x^3 - 3x^24x^4 + 3x^4 - 7x^4 = 3x^2(x - 1)(4 + 3 - 7)x^4 = 3x^2(x - 1)0 cdot x^4
Aqui, o denominador se anula, indicando que o limite pode não existir.

Passo 6

Como obtivemos diferentes comportamentos ao nos aproximarmos por diferentes caminhos, isso sugere que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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