Calcule os seguintes limites, se existirem:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro limite que é:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
e
se aproximam de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
diretamente na função para ver se conseguimos um valor definido.
No numerador:
No denominador:
Obtivemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
Denominador:
Esse denominador não parece fatorar facilmente, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Uma técnica útil para limites em múltiplas variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar pelo eixo
e pelo eixo
. Se os limites forem diferentes, o limite geral não existe.
Vamos primeiro fixar
e deixar
:
Substituindo
:
Agora, substituímos
:
Ainda uma indeterminação. Vamos tentar outra direção.
Passo 5
Agora, vamos aproximar-nos pela linha
. Ou seja, definimos
e deixamos
.
Substituindo
:
Aqui, o denominador se anula, indicando que o limite pode não existir.
Passo 6
Como obtivemos diferentes comportamentos ao nos aproximarmos por diferentes caminhos, isso sugere que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.