Verifique se o limite existe ou não e calcule caso exista. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x-y

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite . Essa questão tá no conteúdo de limites em funções de duas variáveis, e pra resolver vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
x^2 - y^2x - y = (x - y)(x + y)x - y

Passo 4

Em seguida, podemos cancelar o termo (x - y)(x + y)x - y = x + y no numerador e denominador, já que (exceto no ponto , mas estamos analisando o limite):

Passo 5

Agora, a expressão simplificada é lim (x, y) (0,0) (x + y) = 0 + 0 = 0 , e queremos calcular o limite quando aproxima-se de . Então, substituímos e :

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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