Mostre que lim (x, y) (0,0) sen(x y)x+y não existe.

Passo 1

Vamos analisar o limite . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar os limites ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de e ver se obtemos resultados iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde sen(x cdot 0)x + 0 = sen(0)x = 0x = 0 . Substituindo na expressão, temos:
Portanto, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde sen(x cdot x)x + x = sen(x^2)2x . Substituindo na expressão, obtemos:
x^22x = x2 0 quando x 0
Sabemos que, para próximo de , . Então:
Assim, pelo caminho , o limite também é .

Passo 4

Agora, vamos considerar um caminho diferente: sen(x cdot (-x + x^2))x + (-x + x^2) = sen(-x^2 + x^3)x^2 . Substituindo na expressão, temos:
-x^2 + x^3x^2 = -1 + x -1 quando x 0
Para próximo de , . Assim:
Portanto, ao seguir o caminho , o limite é .

Resposta

Como os limites ao longo de diferentes caminhos ( e ) são diferentes, concluímos que o limite não existe.

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