Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos (x)-\cos (y)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(x)-\cos(y)}{x^{2}+y^{2}}
existe e, se existir, encontrar o seu valor.
Informações dadas: a expressão da função é \dfrac{\cos(x)-\cos(y)}{x^{2}+y^{2}} e o ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
O que precisamos responder: existe um único número real L tal que a expressão tende a L quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho? Se sim, qual é esse L? Se não, justificar mostrando caminhos com limites diferentes.

Passo 2

Estratégia (breve e intuitiva): testar limites por caminhos diferentes. Se acharmos dois caminhos que dão limites distintos, então o limite em duas variáveis não existe. Vou calcular primeiro o limite ao longo do eixo y=0 (ou seja (x,0)\to(0,0)).

Passo 3

Limite ao longo do caminho y=0. Substituindo y=0 temos
\frac{\cos(x)-\cos(0)}{x^{2}+0}=\frac{\cos(x)-1}{x^{2}}.
Para calcular \lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)-1}{x^{2}} uso a identidade trigonométrica
1-\cos t = 2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Aplicando com t=x,
\cos(x)-1 = -\bigl(1-\cos x\bigr) = -2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -2\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}}.
Reescrevendo \dfrac{\sin^{2}(x/2)}{x^{2}} em termos de \dfrac{\sin(x/2)}{x/2}:
\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \left(\frac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}.
Assim
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.
Sabemos o limite fundamental \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. Aplicando com t=\dfrac{x}{2} obtemos que o quadrado tende a 1. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -\frac{1}{2}.
Portanto, ao aproximar por (x,0) o valor da expressão tende a -\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Limite ao longo do caminho y=x. Substituindo y=x na expressão obtemos
\frac{\cos(x)-\cos(x)}{x^{2}+x^{2}}=\frac{0}{2x^{2}}=0
para todo x\neq0. Assim
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-\cos(x)}{2x^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar por (x,x) o valor da expressão tende a 0.

Passo 5

Conclusão sobre a existência do limite: encontramos dois caminhos de aproximação a (0,0) que dão limites diferentes:
\text{pelo caminho }(x,0):\quad -\tfrac{1}{2}, \qquad \text{pelo caminho }(x,x):\quad 0.
Como o limite em \mathbb{R}^{2} só existe se for o mesmo por qualquer caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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