existe e, caso exista, encontrar o seu valor.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}} e o ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
Pergunta direta: o limite existe? Se sim, qual é o valor?
Passo 2
Vamos primeiro ganhar intuição testando alguns caminhos simples (isso não prova o limite, apenas dá sensação do que pode acontecer).
Teste 1: tomar y=kx com constante k. Então
Para x\to0 temos \sin^{2}x da ordem de x^{2}, então o numerador é da ordem x^{3} e o denominador da ordem x^{2}, logo o quociente tende a 0.
Teste 2: tomar y=x^{2}. Então numerador =x^{2}\cdot x^{2}=x^{4} e denominador \approx x^{2}+x^{4}, resultando em algo da ordem x^{2}\to0.
Esses testes sugerem que o limite deve ser 0. Agora vamos provar rigorosamente.
Passo 3
Precisamos de uma estimativa útil envolvendo \sin x. É um fato clássico que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso significa que existe \delta_{1}>0 tal que, para |x|<\delta_{1},
Comentário final rápido: a ideia-chave é comparar \sin^{2}x com x^{2} perto de zero para obter uma cota do denominador que permita dominar a fração por algo que tende a zero (aqui o fator dominante foi |y|). Os testes por caminhos ajudam a intuir o resultado, e a prova é feita via estimativa uniforme numa vizinhança.