Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{\sin ^{2}(x)+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}
existe e, caso exista, encontrar o seu valor.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}} e o ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
Pergunta direta: o limite existe? Se sim, qual é o valor?

Passo 2

Vamos primeiro ganhar intuição testando alguns caminhos simples (isso não prova o limite, apenas dá sensação do que pode acontecer).
Teste 1: tomar y=kx com constante k. Então
\frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}=\frac{x^{2}(kx)}{\sin^{2}x+k^{2}x^{2}} =\frac{kx^{3}}{\sin^{2}x+k^{2}x^{2}}.
Para x\to0 temos \sin^{2}x da ordem de x^{2}, então o numerador é da ordem x^{3} e o denominador da ordem x^{2}, logo o quociente tende a 0.
Teste 2: tomar y=x^{2}. Então numerador =x^{2}\cdot x^{2}=x^{4} e denominador \approx x^{2}+x^{4}, resultando em algo da ordem x^{2}\to0.
Esses testes sugerem que o limite deve ser 0. Agora vamos provar rigorosamente.

Passo 3

Precisamos de uma estimativa útil envolvendo \sin x. É um fato clássico que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso significa que existe \delta_{1}>0 tal que, para |x|<\delta_{1},
\left|\frac{\sin x}{x}\right|\ge\frac{1}{2}.
Daí, para |x|<\delta_{1} temos
|\sin x|\ge\frac{1}{2}|x| \quad\Longrightarrow\quad \sin^{2}x\ge\frac{1}{4}x^{2}.
Esse passo é só formalizar que, perto de zero, \sin x é comparável a x.

Passo 4

Usando a desigualdade obtida, para |x|<\delta_{1} temos
\sin^{2}x+y^{2}\ge\sin^{2}x\ge\frac{1}{4}x^{2}.
Agora estimamos o valor absoluto da função:
\left|\frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}\right| \le\frac{x^{2}|y|}{\sin^{2}x+y^{2}} \le\frac{x^{2}|y|}{\frac{1}{4}x^{2}} =4|y|.
Portanto, sempre que |x|<\delta_{1} vale a desigualdade
\left|\frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}\right|\le 4|y|.

Passo 5

Agora fazemos a prova no estilo épsilon–delta. Seja \varepsilon>0 dado. Escolhemos
\delta=\min\bigl(\delta_{1},\,\tfrac{\varepsilon}{4}\bigr).
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, em particular, |x|<\delta\le\delta_{1} e |y|<\delta\le\varepsilon/4. Pela desigualdade do Passo 4 obtemos
\left|\frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}\right|\le 4|y|<4\cdot\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica
\left|\frac{x^{2}y}{\sin^{2}x+y^{2}}-0\right|<\varepsilon.
Portanto o limite existe e é 0.

Passo 6

Comentário final rápido: a ideia-chave é comparar \sin^{2}x com x^{2} perto de zero para obter uma cota do denominador que permita dominar a fração por algo que tende a zero (aqui o fator dominante foi |y|). Os testes por caminhos ajudam a intuir o resultado, e a prova é feita via estimativa uniforme numa vizinhança.

Resposta

0

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