Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y \sin ^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
f(x,y)=\frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}
está definida para todos (x,y)\neq(0,0) (pois o denominador anula-se em (0,0)). A pergunta é: existe um número real L tal que para todo caminho (x,y)\to(0,0) temos f(x,y)\to L? Se sim, encontrar esse L.

Passo 2

Vou trabalhar com o valor absoluto da função para ter uma desigualdade conveniente; isso ajuda a aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Primeiro preciso de uma desigualdade útil sobre \sin. Uma desigualdade padrão é
|\sin t|\le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Justificativa curta e rigorosa: defina g(t)=t-\sin t. Então g'(t)=1-\cos t\ge 0 para t\ge 0, com g(0)=0, logo g(t)\ge 0 para t\ge 0, isto é \sin t\le t quando t\ge 0. Pelas propriedades ímpares de \sin e do valor absoluto, chega-se a |\sin t|\le |t| para todo t. Daí segue
\sin^{2}t \le t^{2}\quad\text{para todo }t.

Passo 3

Aplique a desigualdade acima com t=x. Então \sin^{2}(x)\le x^{2}. Considere o valor absoluto da função:
\left|\frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{|y|\,\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{|y|\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Note que \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1 para todos (x,y)\neq(0,0). Usando isso na desigualdade do passo anterior obtemos
\left|\frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}\right| \le |y|\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le |y|.
Portanto, para todos (x,y)\neq(0,0),
0 \le \left|\frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}\right| \le |y|.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem) em duas variáveis: se 0\le |f(x,y)|\le g(x,y) e g(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0), então f(x,y)\to 0. Aqui temos g(x,y)=|y| e claramente
\lim_{(x,y)\to(0,0)} |y| = 0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 6

(Forte intuição / verificação extra) Se quiser ver por caminhos: tomando y=kx com constante k, temos
\frac{y\sin^{2}(x)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{kx\sin^{2}(x)}{x^{2}(1+k^{2})}=\frac{k\sin^{2}(x)}{x(1+k^{2})}.
Como \sin^{2}(x)\sim x^{2} quando x\to 0, o quociente acima se comporta como C x e tende a 0. Isso é consistente com o resultado anterior. Outra verificação é usar coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e ver que |f|\le r, o que também leva a 0 quando r\to 0.

Resposta

0

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