Verifique se \mathbb{R}^{2} é a soma direta de U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 2 x+3 y=0\right\} e W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x-y=\right. 0\}.

Passo 1

O enunciado pede verificar se \mathbb{R}^2 é a soma direta de
U = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2x + 3y = 0\}
e
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - y = 0\}.
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais em \mathbb{R}^2, soma de subespaços e condição de soma direta, que exige:
  1. \mathbb{R}^2 = U + W (toda v\in\mathbb{R}^2 é soma de um vetor em U com um em W)
  2. U \cap W = \{(0,0)\} (interseção trivial).

Passo 2

Vamos descrever U em forma de geradores. A condição 2x+3y=0 implica y=-\tfrac23x. Logo todo (x,y)\in U é
(x,y) = \bigl(x,\,-\tfrac23x\bigr) = x\bigl(1,\,-\tfrac23\bigr) = t\,(3,-2),
onde fizemos t = x/3. Assim
U = \mathrm{span}\{(3,-2)\}.

Passo 3

Para W, a equação x-y=0 y=x. Assim todo (x,y)\in W é
(x,y) = (t,t) = t\,(1,1),
com t\in\mathbb{R}. Portanto
W = \mathrm{span}\{(1,1)\}.

Passo 4

Para mostrar \mathbb{R}^2 = U + W, note que (3,-2) e (1,1) são linearmente independentes, pois não há \alpha,\beta\in\mathbb{R} não nulos tais que \alpha(3,-2)+\beta(1,1)=(0,0) salvo \alpha=\beta=0. Dois vetores LI em \mathbb{R}^2 formam base, logo seu span é \mathbb{R}^2. Assim
U + W = \mathrm{span}\{(3,-2),(1,1)\} = \mathbb{R}^2.

Passo 5

Para a interseção, suponha (x,y)\in U\cap W. Então existimos t,s tais que
(x,y) = t\,(3,-2) = s\,(1,1).
Isso gera o sistema
3t = s, \quad -2t = s.
Igualando, 3t = -2t implica 5t=0, ou seja t=0. Daí s=3t=0. Logo (x,y)=(0,0) é o único elemento comum, e
U\cap W = \{(0,0)\}.

Resposta

Sim. \mathbb{R}^2 = U \oplus W.

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