Verifique se
é a soma direta de
e
.
Passo 1
O enunciado pede verificar se
é a soma direta de
e
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais em
, soma de subespaços e condição de soma direta, que exige:
-
(toda é soma de um vetor em com um em ) -
(interseção trivial).
Passo 2
Vamos descrever
em forma de geradores. A condição
implica
. Logo todo
é
onde fizemos
. Assim
Passo 3
Para
, a equação
dá
. Assim todo
é
com
. Portanto
Passo 4
Para mostrar
, note que
e
são linearmente independentes, pois não há
não nulos tais que
salvo
. Dois vetores LI em
formam base, logo seu span é
. Assim
Passo 5
Para a interseção, suponha
. Então existimos
tais que
Isso gera o sistema
Igualando,
implica
, ou seja
. Daí
. Logo
é o único elemento comum, e
Resposta
Sim.
.