Considere as matrizes: \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq 2 \\\\ 1 \leq j \leq 3}}, onde a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}2 i-3 j, & \text { se } i<j \\\ (-2 i)^{j-2}, & \text { se } j \leq i\end{array}\right.;
\mathrm{B}=\left(b_{i j}\right)_{1 \leq i \leq 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}2 i-3 j, & \text { se } j<i \\\ (-i)^{2 j-2 i}, & \text { se } i \leq j\end{array} ; \mathrm{C}=\left(c_{i j}\right)_{1 \leq i \leq 3}\right., onde c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}2 i-3 j, & \text { se } i<j \\\ (-2 i)^{2 j-2 i}, & \text { se } j \leq i\end{array}\right. e
\mathrm{D}=\left(d_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq 3 \\\\ 1 \leq j \leq 2}}, onde d_{i j}=\left\{\begin{array}{lr}i j, & \text { se } i<j \\\ (-3 i+2 j)^{i-j}, & \text { se } j \leq i\end{array}\right..
a) Determine a matriz oposta de \mathrm{A} \cdot \mathrm{D} \cdot \mathrm{B}+\mathrm{A}+\mathrm{B}.
b) A matriz \mathrm{C} \cdot \mathrm{A}+\mathrm{B} \cdot \mathrm{D} é invertível? Caso afirmativo, determine a sua inversa.

Passo 1

O enunciado define quatro matrizes por fórmula de seus elementos, mas não informa de forma completa o índice j para as matrizes \mathrm B e \mathrm C. Sem saber exatamente as dimensões de \mathrm B e \mathrm C, não há como checar a conformabilidade dos produtos \mathrm A\cdot \mathrm D\cdot \mathrm B nem de \mathrm C\cdot \mathrm A e \mathrm B\cdot \mathrm D.

Passo 2

Para a parte (a), precisamos que
  1. \mathrm A\cdot \mathrm D seja definido, ou seja, as colunas de \mathrm A coincidirem com as linhas de \mathrm D;
  2. O produto (\mathrm A\cdot \mathrm D)\cdot \mathrm B seja definido, ou seja, as colunas de \mathrm A\cdot \mathrm D coincidirem com as linhas de \mathrm B;
  3. O resultado final tenha as mesmas dimensões de \mathrm A e de \mathrm B para somar \mathrm A\cdot \mathrm D\cdot \mathrm B + \mathrm A + \mathrm B.
Sem a faixa de j em \mathrm B, não sabemos quantas colunas \mathrm B tem e, portanto, não podemos sequer montar as somas de matrizes.

Passo 3

Para a parte (b), o critério de invertibilidade também exige que \mathrm C\cdot \mathrm A e \mathrm B\cdot \mathrm D tenham a mesma forma de matriz quadrada, para então testar se seu somatório é invertível. De novo, sem o intervalo de j em \mathrm C não podemos nem determinar o tamanho de \mathrm C\cdot \mathrm A, muito menos compará-lo a \mathrm B\cdot \mathrm D.

Resposta

Não é possível resolver nenhuma das duas partes porque o enunciado não especifica o número de colunas (índice j) das matrizes \mathrm B e \mathrm C. Sem essa informação, as multiplicações e as somas de matrizes não estão bem definidas.

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