Verifique se \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é gerado por S=\left\{1+x, x+2 x^{2}, 1-x^{2}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se verificar se o espaço vetorial \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau ≤ 2) é gerado pelo conjunto S=\{\,1+x,\; x+2x^{2},\; 1-x^{2}\,\}.
  • Informações dadas (pegas do enunciado):
    • O conjunto S tem três polinômios: 1+x, x+2x^{2} e 1-x^{2}.
    • O espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 (todo polinômio pode ser escrito como a + b x + c x^{2} com a,b,c\in\mathbb{R}).
O objetivo concreto: determinar se qualquer polinômio a + b x + c x^{2} pode ser obtido como combinação linear dos elementos de S. Em termos práticos, verificar se S gera todo \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Ideia do método — representar polinômios por vetores de coeficientes e usar a linearidade.
  • Cada polinômio p(x)=a+bx+cx^{2} corresponde ao vetor de coeficientes \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} na base padrão \{1,x,x^{2}\}.
  • Se as coordenadas dos polinômios de S gerarem \mathbb{R}^{3} (isto é, se forem linearmente independentes ou, equivalentemente, se a matriz formada por elas tiver posto 3), então S gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
  • Portanto vamos escrever os três polinômios como vetores de coeficientes e checar se esses vetores são linearmente independentes (checar determinante diferente de zero).

Passo 3

Escrever os polinômios de S como vetores de coeficientes.
  • Para 1+x os coeficientes em ordem (\text{constante},\, x,\, x^{2}) são \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Para x+2x^{2} os coeficientes são \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  • Para 1-x^{2} os coeficientes são \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores (colunas correspondem aos elementos de S):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Testar independência linear calculando o determinante de A.
  • Fato usado: em \mathbb{R}^{3}, três vetores são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero. Se forem independentes e há 3 vetores em espaço de dimensão 3, então geram todo o espaço.
  • Calcular o determinante de A usando a fórmula padrão:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
  • Aqui a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=1; a_{21}=1, a_{22}=1, a_{23}=0; a_{31}=0, a_{32}=2, a_{33}=-1.
  • Substituindo:
\det(A) =1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot2)-0\cdot(\cdots)+1\cdot(1\cdot2-1\cdot0).
  • Simplificando os termos:
\det(A)=1\cdot(-1)+1\cdot(2)= -1+2=1.
  • Conclusão: \det(A)=1\neq 0. Logo as colunas de A (os vetores que representam os polinômios de S) são linearmente independentes.

Passo 5

Consequência e interpretação prática (como usar isso na prova).
  • Como \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\) tem dimensão \(3\) e temos \(3\) vetores em \(S\) linearmente independentes, esses vetores formam uma base de \(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\). Em particular, geram todo o espaço. - Forma prática para escrever um polinômio arbitrário \(a+bx+cx^{2}\) como combinação linear dos elementos de \(S\): procurar \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha(1+x)+\beta(x+2x^{2})+\gamma(1-x^{2})=a+bx+cx^{2}.
  • Igualando coeficientes obtemos o sistema (rápido de montar na prova):
\begin{cases} \alpha+\gamma = a,\\[4pt] \alpha+\beta = b,\\[4pt] 2\beta-\gamma = c. \end{cases}
  • Resolvendo (eliminação simples):
\beta = a - b + c, \qquad \alpha = 2b - a - c, \qquad \gamma = 2a - 2b + c.
  • Isso mostra explicitamente, para qualquer a,b,c\], como obter os coeficientes da combinação linear — reforçando que \(S realmente gera todo \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).]

Resposta

Sim. S gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

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