Verifique se
é um subespaço de
com as operações usuais de soma e produto por escalar, sobre o corpo dos números reais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço de
quando este é considerado com as operações usuais (soma de matrizes e multiplicação por escalar) sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
- Elementos de
são matrizes com entradas reais sujeitas à condição . - O espaço ambiente é
com as operações usuais. - A pergunta é:
é subespaço de ? (isto é, satisfaz as propriedades necessárias de subespaço)]
Passo 2
O que significa ser subespaço linear (explicação didática):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades simples: - Contém o vetor zero de
(não é vazio e tem o elemento neutro da adição). - É fechado sob soma: se
então . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
- Contém o vetor zero de
- Se essas três condições valem, todas as demais propriedades de subespaço (como fechamento de combinações lineares) seguem automaticamente.
Vou verificar essas três propriedades para. Cada verificação será feita de forma elementar, escrevendo as entradas das matrizes e manipulando a condição .
Passo 3
Verificar que o elemento zero está em
.
- O elemento zero de
é a matriz nula - Para essa matriz,
, , , . Então portanto . - Conclusão: a matriz nula pertence a
. Assim a primeira condição está satisfeita.]
Passo 4
Verificar fechamento por soma (explicação e contas passo a passo).
- Seja
Pela definição de sabemos que - A soma
é - Calcular a soma das diagonais e a soma dos off-diagonais para
: e - Usando que
e , obtemos - Portanto a condição
vale para , logo . - Conclusão:
é fechado sob soma.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (explicação e contas passo a passo).
- Seja
e seja com . - O produto por escalar é
- Calcular a condição para
: - Como
, multiplicando ambos os lados por obtemos . Assim - Portanto
satisfaz a condição e pertence a . - Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão baseada nas verificações e observação alternativa (didática extra).
- Como
contém a matriz nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é subespaço de . - Observação alternativa e útil para provas futuras: definir a aplicação linear
Tem-se que é linear (somatório e multiplicação por escalar passam para a expressão) e então Como núcleo de transformação linear, é automaticamente um subespaço. Isso é uma forma rápida e elegante de ver o mesmo fato. - Para fixar com exemplos concretos:
- Exemplo de matriz em
: , pois e . - Exemplo de matriz não em
: , pois enquanto , condição violada.]
- Exemplo de matriz em
Resposta
Sim.
é subespaço de
.