Verifique se W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; a+d=b+c\right\} é um subespaço de M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais de soma e produto por escalar, sobre o corpo dos números reais.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \;:\; a+d=b+c\right\}
e pede para verificar se W é um subespaço de M_{2}(\mathbb{R}) quando este é considerado com as operações usuais (soma de matrizes e multiplicação por escalar) sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Elementos de W são matrizes 2\times2 com entradas reais a,b,c,d sujeitas à condição a+d=b+c.
  • O espaço ambiente é M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais.
  • A pergunta é: W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R})? (isto é, satisfaz as propriedades necessárias de subespaço)]

Passo 2

O que significa ser subespaço linear (explicação didática):
  • Um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades simples:
    1. Contém o vetor zero de V (não é vazio e tem o elemento neutro da adição).
    2. É fechado sob soma: se u_1,u_2\in U então u_1+u_2\in U.
    3. É fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in U.
  • Se essas três condições valem, todas as demais propriedades de subespaço (como fechamento de combinações lineares) seguem automaticamente.
    Vou verificar essas três propriedades para W. Cada verificação será feita de forma elementar, escrevendo as entradas das matrizes e manipulando a condição a+d=b+c.

Passo 3

Verificar que o elemento zero está em W.
  • O elemento zero de M_{2}(\mathbb{R}) é a matriz nula 0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Para essa matriz, a=0, b=0, c=0, d=0. Então a+d=0+0=0, \qquad b+c=0+0=0,portanto a+d=b+c.
  • Conclusão: a matriz nula pertence a W. Assim a primeira condição está satisfeita.]

Passo 4

Verificar fechamento por soma (explicação e contas passo a passo).
  • Seja X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[4pt] c_1 & d_1\end{pmatrix}\in W \qquad\text{e}\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[4pt] c_2 & d_2\end{pmatrix}\in W.Pela definição de W sabemos que a_1+d_1=b_1+c_1 \qquad\text{e}\qquad a_2+d_2=b_2+c_2.
  • A soma X+Y é X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt] c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
  • Calcular a soma das diagonais e a soma dos off-diagonais para X+Y: (a_1+a_2)+(d_1+d_2)=(a_1+d_1)+(a_2+d_2)e (b_1+b_2)+(c_1+c_2)=(b_1+c_1)+(b_2+c_2).
  • Usando que a_1+d_1=b_1+c_1 e a_2+d_2=b_2+c_2, obtemos (a_1+a_2)+(d_1+d_2)=(b_1+c_1)+(b_2+c_2)=(b_1+b_2)+(c_1+c_2).
  • Portanto a condição a+d=b+c vale para X+Y, logo X+Y\in W.
  • Conclusão: W é fechado sob soma.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (explicação e contas passo a passo).
  • Seja \lambda\in\mathbb{R} e seja X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in W,com a+d=b+c.
  • O produto por escalar é \lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
  • Calcular a condição para \lambda X: (\lambda a)+(\lambda d)=\lambda(a+d) \qquad\text{e}\qquad (\lambda b)+(\lambda c)=\lambda(b+c).
  • Como a+d=b+c, multiplicando ambos os lados por \lambda obtemos \lambda(a+d)=\lambda(b+c). Assim (\lambda a)+(\lambda d)=(\lambda b)+(\lambda c).
  • Portanto \lambda X satisfaz a condição e pertence a W.
  • Conclusão: W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão baseada nas verificações e observação alternativa (didática extra).
  • Como W contém a matriz nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).
  • Observação alternativa e útil para provas futuras: definir a aplicação linear \varphi:M_{2}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R},\qquad \varphi\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=a+d-(b+c).Tem-se que \varphi é linear (somatório e multiplicação por escalar passam para a expressão) e então W=\ker\varphi=\{X\in M_{2}(\mathbb{R}):\varphi(X)=0\}.Como núcleo de transformação linear, W é automaticamente um subespaço. Isso é uma forma rápida e elegante de ver o mesmo fato.
  • Para fixar com exemplos concretos:
    • Exemplo de matriz em W: \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}, pois 1+2=3 e 2+1=3.
    • Exemplo de matriz não em W: \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, pois 1+0=1 enquanto 0+0=0, condição violada.]

Resposta

Sim. W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).

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