1. Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] é invertível calculando seu determinante. Caso seja, resolva o sistema A X=\left[\begin{array}{c}5 \\\\ 11\end{array}\right] usando a matriz inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e o vetor do lado direito do sistema
b=\begin{pmatrix}5\\[4pt] 11\end{pmatrix}.
As tarefas pedidas são:
  • Verificar se A é invertível calculando o determinante de A.
  • Caso A seja invertível, resolver o sistema A X=b usando a matriz inversa de A.]

Passo 2

O que é o determinante para uma matriz 2\times2 e como calculá-lo? Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições indicadas: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b da primeira linha e segunda coluna, etc. Aplicando a fórmula à nossa matriz A, temos a=1, b=2, c=3, d=4. Então calculamos:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3.]

Passo 3

Executando a conta do determinante:
\det(A)=4-6=-2.
Interpretação: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=-2\neq0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Fórmula da inversa para uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(M)\neq0, a inversa é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação rápida: essa fórmula vem da matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) dividida pelo determinante; cada entrada é um cofator que troca sinais e posições conforme a fórmula acima.]

Passo 5

Aplicando essa fórmula a A. Já sabemos \det(A)=-2 e os elementos a=1,b=2,c=3,d=4. Então a adjunta é
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Dividindo pelo determinante:
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver o sistema A X=b usando a inversa. A propriedade que usamos é: se A é invertível então a solução única do sistema é
X=A^{-1}b.
Aqui X é o vetor incógnita \begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}. Vamos multiplicar A^{-1} pelo vetor b.]

Passo 7

Multiplicação passo a passo:
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}5\\[4pt] 11\end{pmatrix}.
Calcula-se cada componente de X=A^{-1}b:
x_1 = (-2)\cdot5 + 1\cdot11 = -10 + 11 = 1,
x_2 = \tfrac{3}{2}\cdot5 + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot11 = \tfrac{15}{2} - \tfrac{11}{2} = \tfrac{4}{2} = 2.
Portanto
X=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (substituição): calcular A X:
A X=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot2\\[4pt] 3\cdot1+4\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt] 11\end{pmatrix}=b,
confirmando que a solução está correta.]

Resposta

\det(A)=-2 (logo A é invertível).
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
X=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

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