Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] é invertível calculando seu determinante. Caso seja, resolva o sistema A X=\left[\begin{array}{c}5 \\\\ 11\end{array}\right] usando a matriz inversa.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e o vetor do lado direito do sistema
b=\begin{pmatrix}5\\[4pt] 11\end{pmatrix}.
As tarefas pedidas são:
Verificar se A é invertível calculando o determinante de A.
Caso A seja invertível, resolver o sistema A X=b usando a matriz inversa de A.]
Passo 2
O que é o determinante para uma matriz 2\times2 e como calculá-lo? Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições indicadas: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b da primeira linha e segunda coluna, etc. Aplicando a fórmula à nossa matriz A, temos a=1, b=2, c=3, d=4. Então calculamos:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3.]
Passo 3
Executando a conta do determinante:
\det(A)=4-6=-2.
Interpretação: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=-2\neq0, a matriz A é invertível.
Explicação rápida: essa fórmula vem da matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) dividida pelo determinante; cada entrada é um cofator que troca sinais e posições conforme a fórmula acima.]
Passo 5
Aplicando essa fórmula a A. Já sabemos \det(A)=-2 e os elementos a=1,b=2,c=3,d=4. Então a adjunta é