- Se
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações numéricas sobre determinantes e pede um determinante composto. Especificamente:
- Foi dado que
. - Foi dado que
. - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Propriedade 1:
.
Explicação didática: a transposta
troca linhas por colunas. O determinante pode ser visto como uma função que associa a cada matriz um número inalterado se trocarmos linhas por colunas — por isso a transposição não muda o valor do determinante. Em termos simples, trocar linhas por colunas não altera a “escala de área/volume” que o determinante mede.
Em fórmulas:
Aqui a variável
representa a matriz original;
é a sua transposta.
Passo 3
Propriedade 2:
.
Explicação didática: a matriz inversa
satisfaz
, onde
é a identidade. Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante (ver passo seguinte) obtemos
. Como
, segue
.
Em fórmulas:
Aqui
é a matriz dada e
sua inversa.
Passo 4
Propriedade 3 (multiplicatividade):
para quaisquer matrizes quadradas
e
compatíveis.
Explicação didática: o determinante mede a fatoração por que a transformação linear representada por uma matriz expande/contrai volumes. Fazer duas transformações em sequência (multiplicar por
e depois por
) multiplica os fatores de escala, logo o determinante do produto é o produto dos determinantes. Esta propriedade é frequentemente usada para decompor determinantes de produtos.
Aplicando essa propriedade ao produto
obtemos:
Passo 5
Agora substituímos as propriedades anteriores e os valores numéricos dados.
Pelo Passo 2:
Pelo Passo 3 e pelo dado
:
Pelo Passo 4:
E efetuando a multiplicação:
Passo 6
Verificação por exemplo concreto (opcional, só para ganhar confiança): escolher matrizes diagonais simples com os determinantes dados. Por exemplo,
Tem-se
e
. Então
e
cujo determinante é
, conferindo o resultado.]