1. Se \operatorname{det}(A)=4 e \operatorname{det}(B)=-2, calcule \operatorname{det}\left(A^{t} B^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas informações numéricas sobre determinantes e pede um determinante composto. Especificamente:
  • Foi dado que \det(A)=4.
  • Foi dado que \det(B)=-2.
  • A pergunta é: calcular \det\bigl(A^{t}B^{-1}\bigr).

Passo 2

Propriedade 1: \det(A^{t})=\det(A).
Explicação didática: a transposta A^{t} troca linhas por colunas. O determinante pode ser visto como uma função que associa a cada matriz um número inalterado se trocarmos linhas por colunas — por isso a transposição não muda o valor do determinante. Em termos simples, trocar linhas por colunas não altera a “escala de área/volume” que o determinante mede.
Em fórmulas:
\det(A^{t})=\det(A).
Aqui a variável A representa a matriz original; A^{t} é a sua transposta.

Passo 3

Propriedade 2: \det(B^{-1})=\dfrac{1}{\det(B)}.
Explicação didática: a matriz inversa B^{-1} satisfaz B\,B^{-1}=I, onde I é a identidade. Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante (ver passo seguinte) obtemos \det(B)\det(B^{-1})=\det(I). Como \det(I)=1, segue \det(B^{-1})=1/\det(B).
Em fórmulas:
\det(B)\det(B^{-1})=\det(I)=1 \quad\Longrightarrow\quad \det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}.
Aqui B é a matriz dada e B^{-1} sua inversa.

Passo 4

Propriedade 3 (multiplicatividade): \det(XY)=\det(X)\det(Y) para quaisquer matrizes quadradas X e Y compatíveis.
Explicação didática: o determinante mede a fatoração por que a transformação linear representada por uma matriz expande/contrai volumes. Fazer duas transformações em sequência (multiplicar por X e depois por Y) multiplica os fatores de escala, logo o determinante do produto é o produto dos determinantes. Esta propriedade é frequentemente usada para decompor determinantes de produtos.
Aplicando essa propriedade ao produto A^{t}B^{-1} obtemos:
\det\bigl(A^{t}B^{-1}\bigr)=\det\bigl(A^{t}\bigr)\det\bigl(B^{-1}\bigr).

Passo 5

Agora substituímos as propriedades anteriores e os valores numéricos dados.
Pelo Passo 2:
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A)=4.
Pelo Passo 3 e pelo dado \det(B)=-2:
\det\bigl(B^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(B)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Pelo Passo 4:
\det\bigl(A^{t}B^{-1}\bigr)=\det\bigl(A^{t}\bigr)\det\bigl(B^{-1}\bigr)=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right).
E efetuando a multiplicação:
4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.

Passo 6

Verificação por exemplo concreto (opcional, só para ganhar confiança): escolher matrizes diagonais simples com os determinantes dados. Por exemplo,
A=\begin{pmatrix}4 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Tem-se \det(A)=4 e \det(B)=-2. Então
B^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad A^{t}=A,
e
A^{t}B^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
cujo determinante é -2, conferindo o resultado.]

Resposta

-2

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