Verifique se a matriz M=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right) é inversível, justificando pelo método de escalonamento.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
é inversível, justificando pelo método de escalonamento.
Informações dadas:
A matriz é 2\times2 com primeira linha (1,2) e segunda linha (2,4).
O método pedido é o de escalonamento (ou eliminação de Gauss), isto é, usar operações elementares por linhas para tentar obter a matriz identidade numa forma aumentada que forneça a inversa, caso exista.]
Passo 2
Rápida explicação do método que vou usar (passo-a-passo em palavras):
Para encontrar a inversa de uma matriz quadrada A por escalonamento, monta-se a matriz aumentada [A \mid I], onde I é a identidade da mesma ordem.
Aplica-se operações elementares por linhas para transformar o bloco esquerdo A em I. Se for possível transformar A em I, o bloco à direita se transforma em A^{-1}.
Se, durante o processo, surgir uma linha com todos zeros no bloco esquerdo mas com entradas não-nulas no bloco direito, ou se não for possível obter pivôs em todas as linhas (ou seja, se o posto de A for menor que 2 neste caso), então não existe inversa (a matriz é singular).
Vou aplicar isso aqui.
A ideia é usar operações por linhas para zerar a entrada abaixo do pivô da primeira coluna.]
Passo 4
Eliminação: faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 (subtrair duas vezes a linha 1 da linha 2). Isso elimina a entrada 2 na posição (2,1). Aplicando a operação obtemos:
Mostrei cada coluna resultante: no bloco esquerdo a segunda linha virou (0,0); no bloco direito a segunda linha virou (-2,1).]
Passo 5
Interpretação do resultado do escalonamento:
No bloco esquerdo (que representa o sistema homogêneo ou as colunas de M) a segunda linha é toda zero: (0,0). Isso significa que, depois da eliminação, não há pivot na segunda linha/segunda coluna — o posto de M é 1, menor que 2.
Mas no mesmo momento o bloco direito tem (-2,1) na segunda linha, ou seja, não é a linha de zeros inteira na matriz aumentada. Isso indica que, ao tentar resolver M X = I (ou resolver para a segunda coluna Mx = e_2), a segunda equação ficou 0\cdot(\cdot)+0\cdot(\cdot) = -2 na forma reduzida, que é impossível. Em palavras: há inconsistência ao tentar obter a identidade no bloco esquerdo — não é possível obter pivôs nas duas linhas simultaneamente.
Conclusão a partir do escalonamento: não é possível transformar M em I_2 por operações por linhas sem violar consistência; portanto M não tem inversa.
Passo 6
Observação simples e intuitiva que confirma o resultado:
Repare que a segunda linha de M é exatamente o dobro da primeira linha: (2,4)=2\cdot(1,2). Isso mostra que as linhas são linearmente dependentes, logo o posto de M é 1<2.
Para matrizes quadradas, linha(s) linearmente dependentes implicam determinante zero e não-invertibilidade. De fato, calculando o determinante:
\det(M)=1\cdot4-2\cdot2=4-4=0,
o que também confirma que M é singular (não inversível).
Passo 7
Resumo final da justificativa pelo método de escalonamento: após a operação R_2\leftarrow R_2-2R_1 o bloco esquerdo da matriz aumentada ficou com uma linha nula enquanto o bloco direito não, o que impede obter a identidade pelo processo de eliminação. Por isso não existe M^{-1}.