Resolva o sistema utilizando a matriz inversa calculada no exemplo de aula:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=5 \\\\ 3 x+7 y=18 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+2y=5,\\[4pt] 3x+7y=18. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • Duas equações lineares em duas incógnitas x e y.
  • Valores numéricos nas constantes do lado direito: 5 e 18.
    O objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A X = b, que é útil para aplicar a matriz inversa.
Definimos:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}5 \\[4pt] 18\end{pmatrix}.
Aqui A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a uma incógnita), X é o vetor incógnita e b é o vetor dos termos independentes.]

Passo 3

Explicação didática do método da matriz inversa:
  • Se uma matriz quadrada A for invertível (ou seja, existir A^{-1}), então multiplicando ambos os lados de A X = b por A^{-1} obtemos
X = A^{-1} b.
  • Para uma matriz 2\times2 genérica
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(A)=ad-bc. A matriz é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • A fórmula explícita da inversa (quando existe) é
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Nesta fórmula, cada letra representa o elemento correspondente da matriz A.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso A:
Identificamos a=1, b=2, c=3, d=7.
Calculamos o determinante:
\det(A)=ad-bc = 1\cdot 7 - 2\cdot 3 = 7 - 6 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível. Isso é ótimo porque facilita cálculos (dividir por 1 não altera nada).

Passo 5

Agora calculamos A^{-1} usando a fórmula:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Explicando: trocou-se a com d, trocou-se o sinal de b e c, e dividiu-se pela determinante.]

Passo 6

Calculamos X=A^{-1}b. Multiplicação matriz por vetor (faça assim na prova: cada componente do resultado é uma soma de produtos da linha da matriz pelos elementos do vetor):
X=\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \\[4pt] 18\end{pmatrix}.
Computamos componente a componente:
  • Primeira componente (que é x):
x = 7\cdot 5 + (-2)\cdot 18 = 35 - 36 = -1.
  • Segunda componente (que é y):
y = (-3)\cdot 5 + 1\cdot 18 = -15 + 18 = 3.]

Passo 7

Verificação rápida substituindo na equação original (sempre bom conferir na prova):
  • Verificar \;x+2y=5:
(-1)+2\cdot 3 = -1 + 6 = 5.
  • Verificar \;3x+7y=18:
3\cdot(-1) + 7\cdot 3 = -3 + 21 = 18.
Ambas as equações são satisfeitas, portanto a solução está correta.

Passo 8

Resumo pedagógico curto e dica para a prova: para um sistema 2\times2 sempre calcule primeiro o determinante; se for 1 (ou outro inteiro fácil) a inversa fica bem simples. Memorize a fórmula da inversa 2\times2 e pratique a multiplicação linha-por-coluna — isso economiza tempo e evita erros bobos. Vai dar certo, confia!

Resposta

x=-1
y=3

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