Encontre, se possível, as inversas das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, se possível, a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz A é quadrada de ordem 3.
  • A tarefa é determinar A^{-1} quando existir.]

Passo 2

Método escolhido (explicação didática e motivo): vou usar o método da eliminação de Gauss–Jordan aplicando operações elementares nas linhas sobre a matriz aumentada [A\mid I].
Por que isso funciona (explicação simples): se aplicarmos operações de linha que transformam A na identidade I, essas mesmas operações transformam I em A^{-1}. Assim, ao reduzir [A\mid I] para [I\mid X], o bloco X será exatamente A^{-1}.
Operações permitidas (lembrando): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. O objetivo é zerar todas as entradas fora da diagonal principal e escalar os pivôs para 1.

Passo 3

Formo a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeiro objetivo: zerar a entrada abaixo do pivô a_{11}=1. Faço a operação \,R_2 \leftarrow R_2 - R_1. Calculo cada entrada de R_2:
  • coluna 1: 1-1=0,
  • coluna 2: 1-2=-1,
  • coluna 3: 2-3=-1,
  • bloco da direita: 0-1=-1,\;1-0=1,\;0-0=0.
A matriz aumenta fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Quero ter pivô 1 em R_2. Multiplico R_2 por -1:
R_2 \leftarrow -R_2.
Então
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora zerei o resto da coluna 2 (acima e abaixo do pivô em R_2). Faço duas operações:
\,R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 e R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calculemos R_1 - 2R_2:
  • coluna 1: 1-2\cdot0=1,
  • coluna 2: 2-2\cdot1=0,
  • coluna 3: 3-2\cdot1=1,
  • bloco direito: 1-2\cdot1=-1,\;0-2\cdot(-1)=2,\;0-2\cdot0=0.
Calculemos R_3 - R_2:
  • coluna 1: 0-0=0,
  • coluna 2: 1-1=0,
  • coluna 3: 2-1=1,
  • bloco direito: 0-1=-1,\;0-(-1)=1,\;1-0=1.
A matriz aumenta passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora já tenho pivô 1 em a_{33} na terceira linha. Vou eliminar as entradas acima na coluna 3 para obter a identidade na parte esquerda. Faço:
\,R_1 \leftarrow R_1 - R_3 e \,R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Compute R_1 - R_3:
  • coluna 1: 1-0=1,
  • coluna 2: 0-0=0,
  • coluna 3: 1-1=0,
  • bloco direito: -1-(-1)=0,\;2-1=1,\;0-1=-1.
Compute R_2 - R_3:
  • coluna 1: 0-0=0,
  • coluna 2: 1-0=1,
  • coluna 3: 1-1=0,
  • bloco direito: 1-(-1)=2,\;-1-1=-2,\;0-1=-1.
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

A parte esquerda agora é a matriz identidade I_3. Portanto a parte direita é a inversa buscada. Escrevo A^{-1} a partir do bloco direito:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

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