Método escolhido (explicação didática e motivo): vou usar o método da eliminação de Gauss–Jordan aplicando operações elementares nas linhas sobre a matriz aumentada [A\mid I].
Por que isso funciona (explicação simples): se aplicarmos operações de linha que transformam A na identidade I, essas mesmas operações transformam I em A^{-1}. Assim, ao reduzir [A\mid I] para [I\mid X], o bloco X será exatamente A^{-1}.
Operações permitidas (lembrando): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. O objetivo é zerar todas as entradas fora da diagonal principal e escalar os pivôs para 1.
Agora já tenho pivô 1 em a_{33} na terceira linha. Vou eliminar as entradas acima na coluna 3 para obter a identidade na parte esquerda. Faço: \,R_1 \leftarrow R_1 - R_3 e \,R_2 \leftarrow R_2 - R_3.